Trigonometría y Álgebra. Biofísica UASLP

La hipérbola Igual que en el caso de la elipse, para la hipérbola hay tres posibles definiciones que son análogas a las tres definiciones de la elipse. De aquí en adelante el discurso será entonces análogo al de la 14ava entrada del blog.  La primera definición de la hipérbola dice lo siguiente: Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante mayor que uno . Esta constante es llamada excentricidad. Nótese que en este caso la definición es exactamente igual que para la elipse, con la diferencia que en este caso la excentricidad es mayor que uno. Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la hipérbola si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (1,∞) . Como ya vimos, el caso ...

La tangente a la elipse Tomemos una elipse centrada en el origen en su forma estándar:\[ \left( \frac{x}{A} \right)^2+\left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1. \] Consideremos ahora la familia de rectas \[ y = m x + \beta, \text{ con } m \text{ fija y } \beta \text{ arbitraria.}\] Como hemos hecho en otras ocasiones, vamos a buscar el valor de β tal que la recta en cuestión es tangente a la elipse (ver figura). Para encontrar el valor de β para el cual la recta es tangente a la elipse, encontramos las condiciones para que la intersección de la recta y la elipse se dé en un solo punto. Así tenemos, \[ \text{ si} y=m x + \beta\, \text{ y }\,  \left( \frac{x}{A} \right)^2 + \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1,\, \text{ entonces }\, \left( \frac{x}{A} \right)^2 +\left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1. \] Así, la o las abscisas de la intersección son los valores de x que resuelven la ecuación cuadrática \[ x^2\, \frac{B^2 + A^2 m^2}{A^2 B^2} + 2\, x\, \frac{m\, \beta}{B^2} + \frac{\beta^2 - B...

La elipse Hay tres maneras de definir la elipse. La primera, que se parece a la definición que vimos para la parábola, dice lo siguiente: Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante menor que uno. Esta constante es llamada excentricidad.  Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la elipse si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (0,1). El caso e = 1 corresponde a la parábola como ya vimos.  Supongamos que la directriz es vertical y tiene ecuación x = α y que el foco tiene coordenadas (f,0). Entonces un punto (x,y) pertenece a la elipse si y solo si \[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=e\, |x - \alpha|\] Notemos que la curva descrita por esta ecuación tiene las siguientes simetrías...

La antena parabólica Las antenas parabólicas tienen una sección transversal en forma de parábola que al girar al rededor del eje del la parábola forma la superficie de la antena. La cara interior de la antena refleja la radiación que llega a la antena en rayos paralelos al eje de la antena como se ve en la figura. Nuestro objetivo es demostrar que todos los rayos que inciden en la antena siguiendo la dirección del eje de la parábola se reflejan en dirección al foco, de modo que la antena concentra todos los rayos en el foco. Para probar esto debemos tomar en cuenta las leyes de reflexión que dicen que el ángulo de incidencia respecto a la recta tangente es igual al ángulo de reflexión respecto a la misma recta. Entonces debemos probar que el ángulo entre el rayo vertical que incide en el punto C y la tangente a la parábola que pasa por el punto C, es igual al ángulo entre la recta que contiene a C y al foco y la tangente a la parábola que pasa por el punto C. Para simplificar los cálcu...

La parábola En la geometría clásica la parábola puede definirse como una sección cónica, es decir, una de las posibles curvas que se obtienen al intersecar un cono con un plano. También puede definirse de manera similar al círculo, a partir de la distancia de sus puntos a otros objetos geométricos. La segunda opción es la que vamos a tomar. Según esta segunda opción, la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto específico llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Entonces, si al foco lo llamamos f y a la directriz la llamamos D, entonces el punto P=(x,y) estará en la parábola si y solo si \[{\rm dist}(P,f)={\rm dits}(P,D).\] Ahora ya conocemos las fórmulas para calcular la distancia de un punto a otro y de un punto a una recta. Digamos que f=(a,b) y que la directriz D tiene ecuación y=mx+β , entonces P=(x,y) está en la parábola si y solo si \[\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\frac{|mx+\beta-y|}{\sqrt{m^2+1}}.\] Si eleva...

Ortogonalidad Pretendemos demostrar que la tangente a un circulo es perpendicular a radio que pasa por el punto de tangencia. Para poder probarlo necesitamos primero establecer un relación entre la pendiente de una recta y la pendiente de una perpendicular a esa recta.  Tomemos una recta cualquiera de pendiente m y una perpendicular a ella, como se indica en la figura. Las rectas tiene entonces ecuaciones \[y=mx+\beta \text{ y } y=\bar{m}x+\delta.\] La perpendicularidad o no de esas rectas depende solo de sus pendientes, mientras que sus ordenadas al origen determinan el punto donde las rectas se intersecan. Notemos que \[m=tan(\alpha) \text{ y por lo tanto } \bar{m}=tan(\alpha+\pi/2).\] Desarrollando obtenemos \begin{align*}\bar{m}&=\frac{{\rm sen}(\alpha+\pi/2)}{\cos(\alpha+\pi/2)}=\frac{{\rm sen}(\alpha)\cos(\pi/2)+\cos(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}{\cos(\alpha)\cos(\pi/2)-{\rm sen}(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}\\ &=\frac{\cos(\alpha)}{-{\rm sen}(\alpha)}=-\frac{1}{{\rm sen}(\alp...

Pappus y Descartes Ahora comenzamos la unidad dedicada a la geometría analítica. Como vimos en clase, la geometría analítica que estudiamos en este curso es una disciplina que se ocupa de los problemas de la geometría clásica utilizando métodos algebraicos. Esta disciplina comenzó con René Descartes, con su libro llamado La Géometrie , que data de 1637. Uno de los problemas que motivó a Descartes fue planteado por Pappus que Descartes trata en la primera y segunda parte de su tratado. El problema de Pappus es un problema clásico de la matemática alejandrina (de la que ya discutimos mucho en la parte de trigonometría de este curso). Pappus fue profesor en la famosa biblioteca de Alejandría y al rededor del año 340 D.C.escribió un tratado llamado Synagoge , también conocido como Colección Matemática. En este tratado, Pappus comenta los trabajos de muchos matemáticos anteriores a él, entre los cuales Euclides y Ptolomeo. En ese libro Pappus se interesa en diversos problemas geométricos y...

Supongamos que queremos medir la superficie de un terreno de forma poligonal como el que se muestra en la figura. La técnica para llevar esto acabo consisten en dividir el terreno en triángulos, lo que llamamos triangulación. La triangulación no es única, hay muchas maneras de triangular un terreno. Para el terreno de arriba un ejemplo es el siguiente. El área del terreno será la suma de las áreas de los triángulos que lo componen. En el caso de la figura habría que sumar las áreas de cinco triángulos. En el terreno, lo mas probable es que solo contemos con hilo para marcar la triangulación, y podríamos fácilmente medir la longitud de los lados de cada triángulo. El atrabajo de agrimensura (medición del terreno) se facilitaría mucho si contáramos con una regla que permita medir el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados. Esta regla nos la proporciona la fórmula de Herón de Alejandría. Considere el triángulo de la figura. La fórmula de Herón establece que la superf...

Vamos a revisar cómo la escuela alejandrina de matemáticas logro estimar la distancia de la tierra al sol. La estrategia para la medición de la distancia de la Tierra la Sol requiere de tres etapas: Estimar el radio de la Tierra. Esto lo hizo Eratóstenes de Cirene cerca del año 240 A.C. Estimar la distancia de la Tierra a la Luna, para lo que se requiere el radio de la Tierra. Esto lo hizo Hiparco de Nicea, cerca del año 100 A.C. Antes, esta distancia había sido estimada por Aristarco de Samos, usando datos de un eclipse lunar, pero este método no es muy preciso. Finalmente, estimar la distancia del Sol a la Tierra, para lo que se requiere una buena estimación de la distancia de la Tierra a la Luna. El método lo propuso Aristarco de Samos. El método de Aristarco para medir la distancia Sol-Tierra es el correcto, pero el obtuvo resultados erróneos porque su estimación de la distancia Tierra-Luna era imprecisa y su medición de los ángulos también. Nosotros trataremos de mejorar esto util...