8va entrada/Tierra, Sol, Luna

Vamos a revisar cómo la escuela alejandrina de matemáticas logro estimar la distancia de la tierra al sol. La estrategia para la medición de la distancia de la Tierra la Sol requiere de tres etapas:

  1. Estimar el radio de la Tierra. Esto lo hizo Eratóstenes de Cirene cerca del año 240 A.C.
  2. Estimar la distancia de la Tierra a la Luna, para lo que se requiere el radio de la Tierra. Esto lo hizo Hiparco de Nicea, cerca del año 100 A.C. Antes, esta distancia había sido estimada por Aristarco de Samos, usando datos de un eclipse lunar, pero este método no es muy preciso.
  3. Finalmente, estimar la distancia del Sol a la Tierra, para lo que se requiere una buena estimación de la distancia de la Tierra a la Luna. El método lo propuso Aristarco de Samos.

El método de Aristarco para medir la distancia Sol-Tierra es el correcto, pero el obtuvo resultados erróneos porque su estimación de la distancia Tierra-Luna era imprecisa y su medición de los ángulos también. Nosotros trataremos de mejorar esto utilizando los datos de Hiparco, que son más precisos.


Radio de la Tierra 

Alejandría está en la costa egipcia del Mediterráneo y Siena, hoy llamada Asuán, en el sur de Egipto. Ambas ciudades se encuentran en un línea norte-sur y están separadas por una distancia de 800 Km. Siena está (casi) en el Trópico de Cáncer, de modo que durante el solsticio de verano una poste en Siena no proyecta ninguna sombra a medio día. Ese mismo día a medio día, una poste proyecta una cierta sombra en Alejandría y usando esa sombra se puede calcular el ángulo que forman los rayos del Sol con la vertical, ángulo que resulta ser 2𝜋/50 como se indica en la figura. 

 

El cálculo de Eratóstenes es en realidad muy sencillo. Dado que un ángulo en radianes no es más que el cociente entre la longitud de arco y el radio, entonces, si llamamos R al radio de la Tierra y d a la distancia entre Alejandría y Siena, tenemos que \[\frac{d}{R}=\alpha, \text{ de modo que } R=\frac{d}{\alpha}=\frac{800 \text{Km}}{2\pi/50}=\frac{20000 \text{Km}}{\pi}\approx 6366.2 \text{Km},\] que es una muy buena estimación del radio de la Tierra. Una estimación actual es 6371 Km.
 

Distancia Tierra-Luna 

Para estimar la distancia Tierra-Luna, Hiparco utilizó el ángulo de elevación de la Luna sobre el horizonte en dos puntos de la Tierra para los cuales conocía la latitud. Para simplificar vamos a suponer que la Luna se encuentra en el zenit respecto a uno de los dos puntos de observación. La configuración que que corresponde a esta observación se ilustra en la figura.

 
 
De esta figura extraemos el triángulos con vértices en el centro de la Tierra, el punto de observación D y el centro de la Luna.
La distancia que queremos calcular es D=a+b, para lo cual usamos las siguientes ecuaciones que se pueden deriva de la figura: \begin{align*}h&=R\,{\rm sen}(\beta)\\ a&=R\cos(\beta),\\ b&=D_1\,{\rm sen}(\alpha+\pi/2-(\pi/2-\beta))=D_1\,{\rm sen}(\alpha+\beta),\\ h&=D_1\cos(\alpha+\pi/2-(\pi/2-\beta))=D_1\cos(\alpha+\beta).\end{align*}De estas ecuaciones podemos deducir lo siguiente: \[h=R\,{\rm sen}(\beta)=D_1\,\cos(\alpha+\beta),\text{ entonces }D_1=R\,\frac{{\rm sen}(\beta)}{\cos(\alpha+\beta)},\] \[b=D_1\,{\rm sen}(\alpha+\beta)=R\,\frac{{\rm sen}(\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\,{\rm sen}(\alpha+\beta).\] Con esto \begin{align*}D&=a+b=R\,\left(\cos(\beta)+\frac{{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\right)\\ &=R\left(\frac{\cos(\beta)\,\cos(\alpha+\beta)+{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\right)\\&=R\,\frac{\cos(\alpha+\beta-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=R\,\frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha+\beta)}.\end{align*}En el caso de Hiparco, los puntos de observación pudieron ser Siena (con una latitud de 24º norte) y el norte de Grecia que tiene una latitud de 40º norte. Con esto 𝛽=18º≈0.314159 radianes. En esta observación la Luna se observa en el zenit en Siena y a una elevación de 71.688º≈1.251191634 radianes en el norte de Grecia. Entonces \[D\approx R\,\frac{\cos(1.251191634)}{\cos(1.565350634)}\approx 57.69847\,R\approx 367,320 \, {\rm Km}.\] La estimación actual de la distancia Tierra-Luna es 384,400 Km.

Distancia Sol-Tierra

Este método lo propuso Aristarco de Samos y supone que conocemos la distancia Tierra-Luna. Aristarco tenía una estimación algo erronea, que obtuvo estudiando los eclipses de sol, pero nosotros usaremos la estimación de la sección anterior que nos dió 367,320  Km. El método consiste en medir el ángulo que forman la dirección de observación del Sol y de la Luna cuando la Luna está justo en su fase de media-luna. El Sol, la Tierra y la Luna forman entonces un triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura. Como conocemos un ángulo y uno de sus catetos, entonces podemos deducir las longitudes de los otros dos lados.

En base a la figura, la distancia Tierra-Sol, que llamamos H, satisface la ecuación cos(𝛼)=D/H, y como conocemos D, entonces concluimos que \[H=\frac{D}{\cos(\alpha)}=\frac{367,320 {\rm Km}}{\cos(\alpha)}.\] Según Aristarco 𝛼≈87º≈1.518436 radianes, de modo que usando este ángulo tendríamos \[H\approx\frac{367,320 {\rm Km}}{\cos(1.528436)}\approx 7'018,501.74 {\rm Km},\] pero esta es un sub-estimación ya que la distancia Tierra-Sol es más bien de 149'597,870.7 Km. El problema es la medición del ángulo 𝛼 que es más cercano 90º. De hecho, con 𝛼=89.86º≈1.568352, obtenemos \[H\approx\frac{367,320 {\rm Km}}{\cos(1.568352)}=150'327,904.8 Km.\] 

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