2da entrada/Repaso de Álgebra

Solución a los problemas de la tarea de repaso de álgebra  

Problema 1.

Resolver las siguientes ecuaciones: \[\sqrt{\sqrt{x+16}-\sqrt{x}}=1, \text{ y }\, \frac{4-x}{\sqrt{x^2-8x+32}}=\frac{2}{3}\] 

 

Solución 

Para la primera ecuación elevamos ambos lados al cuadrado y obtenemos \[ \sqrt{x+16}-\sqrt{x}=1, \text{ o sea }\, \sqrt{x+16}=1+\sqrt{x}. \] Elevando otra vez al cuadrado obtenemos \[x+16=1+2\sqrt{x}+x, \text{ o sea }\, 2\sqrt{x}=15, \text{ es decir }\, x=\left(\frac{15}{2}\right)^2. \] Para la segunda ecuación despejamos las fracciones y elevamos ambos lados al cuadrado, o sea \[ 3(4-x)=2\sqrt{x^2-8x+32}, \text{ o sea }\, 9(x^2-8x+16)=4(x^2-8x+32) \] lo que nos da finalmente la ecuación cuadrática \[5x^2-40x+16=0, \text{ que tiene soluciones }\, x=4\pm\frac{8}{\sqrt{5}}.\] De estas dos soluciones solo la de signo menos tiene sentido ya que necesitamos que \[4-x=\mp\frac{8}{\sqrt{5}} \text{ sea positivo.}\]

Problema 2.

¿Para qué valores de k el polinomio \[p(x)=x^3+k^2x^2-4kx-5 \text{ es divisible por }\, q(x)=(x-2)?\] Solución

Que p(x) sea divisible por q(x) significa que \[p(x)=q(x)r(x) \text{ para todo }\, x \] y para algun polinomio r(x) que tendría que ser de grado dos en este caso. Entonces, como q(2)=0, entonces necesariamente \[p(2)=q(2)r(2)=0\,r(2)=0.\] Por otro lado, si p(2)=0 , el llamado Teorema Fundamental del Álgebra nos asegura que q(x)=x-2 divide a p(x) . En resumen, p(x) sea divisible por q(x) si y solo si p(2)=0. Entonces, para resolver nuestro problema, todo lo que necesitamos es encontrar los valores de k para los cuales \[ p(2)=2^3+k^2\times 2^2-4k\times 2-5=0, \text{ o sea }\, 4k^2-8k+3=0. \] Las soluciones a esta ecuación son k=1/2 y k=3/2. Si hacemos la división correspondiente obtenemos \[ \text{ para }\, k=\frac{1}{2} \text{ tenemos }\, r(x)=x^2+\frac{9x}{4}+\frac{5}{2}, \text{ para }\, k=\frac{3}{2} \text{ tenemos }\, r(x)=x^2+\frac{17x}{4}+\frac{5}{2}. \] Otra forma de obtener la ecuación \[4k^2-8k+3=0,\] cuyas soluciones son los valores para los que p(x) es divisible por q(x)=x-2, es haciendo la división \[\cfrac{x^3+k^2x^2-4kx-5}{x-2}\] y pidiendo que el residuo, que es una expresión algebraica con incógnita k, sea cero. La división nos da \[\cfrac{x^3+k^2x^2-4kx-5}{x-2}=x^2+(k^2+2)x+(2(k^2+2)-4k) \text{ con residuo }\, 4k^2-8k+3.\]

Problema 3.

Encuentre el conjunto de valores de x que satisfacen las siguientes desiguadades \[ \frac{-2}{4-5x} > 0 \text{ y }\, x^2+3x\leq 0. \] 

 

Solución 

Para que la primera desigualdad se satisfaga necesitamos que 4-5x sea negativo, ya que el cociente de dos números negativos es positivo. Entonces el conjunto que satisface la desigualdad es el intervalo \[\left(\frac{4}{5},\infty\right)\] Para la segunda desigualdad tenemos \[ x^2+3x=x(x+3)\leq 0,\] de modo que hay dos posibilidades: \[ \text{O bien }\, x\leq 0\text{ y }\, x+3\geq 0, \text{ o sino }\, x\geq 0 \text{ y }\, x+3 \leq 0. \] Para la primer posibilidad tenemos \[ x\leq 0 \text{ y }\, x\geq -3, \text{ o sea }\, x\in [-3,0]. \] Para la segunda posibilidad tenemos \[ x\geq 0 \text{ y }\, x\leq -3, \text{ lo cual es imposible }. \] Entonces el conjunto solución para la segunda desigualdad es el intervalo [-3,0].

Problema 4.

Un objeto parte del punto (x = 0; y₁ = 0) y se mueve sobre la trayectoria parabólica \[y_1(x) = -5x^2 + 3x,\] mientras que otro, que también parte del punto (x = 0; y₂= 0) sigue la linea recta \[y_2(x) = 2x.\] Encuentre el intervalo de valores para x en los que la altura y₁ del primer objeto es superior a la altura y₂ del segundo.

Solución 

Debemos encontrar el conjunto de valores de x tales que \[ y_1(x)=-5x^2+3x > y_2(x)=2x, \text{ es decir }\, 5x^2-x=x(5x-1) < 0. \] Tenemos pues dos posibilidades: \[ \text{O bien }\, x > 0\text{ y }\, 5x-1 < 0, \text{ o sino }\, x < 0 \text{ y }\, 5x-1 > 0. \] La primer posibilidad se cumple para x > 0 y x < 1/5 , mientras que la segunda de estas posibilidades nunca se cuple ya que x < 0 es incompatible con x > 1/5 . Entonces la solución está dada por el intevalo (0, 1/5).