9na entrada/Triangulación

Supongamos que queremos medir la superficie de un terreno de forma poligonal como el que se muestra en la figura.
La técnica para llevar esto acabo consisten en dividir el terreno en triángulos, lo que llamamos triangulación. La triangulación no es única, hay muchas maneras de triangular un terreno. Para el terreno de arriba un ejemplo es el siguiente.
El área del terreno será la suma de las áreas de los triángulos que lo componen. En el caso de la figura habría que sumar las áreas de cinco triángulos. En el terreno, lo mas probable es que solo contemos con hilo para marcar la triangulación, y podríamos fácilmente medir la longitud de los lados de cada triángulo. El atrabajo de agrimensura (medición del terreno) se facilitaría mucho si contáramos con una regla que permita medir el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados. Esta regla nos la proporciona la fórmula de Herón de Alejandría. Considere el triángulo de la figura.
La fórmula de Herón establece que la superficie del triángulo, que llamamos S, satisface la ecuación \[ S=\sqrt{p(p-\ell_1)(p-\ell_2)(p-\ell_3)}, \text{ donde } p=\frac{\ell_1+\ell_2+\ell_3}{2}.\]Alternativamente, si desarrollamos los términos al interior de la raíz cuadrada obtenemos la una fórmula equivalente\[S=\frac{1}{4}\sqrt{2(\ell_1^2\ell_2^2+\ell_1^2\ell_3^2+\ell_2^2\ell_3^2)-(\ell_1^4+\ell_2^4+\ell_3^4)},\]y esta es la que vamos a deducir a partir del dibujo que se obtiene al dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos como se ve en la figura.
Tenemos que \[\ell_3^2=h^2+b^2, \, \ell_2^2=h^2+a^2 \text{ y } \ell_1=a+b.\]Entonces podemos utilizar estas ecuaciones para obtener una ecuación para a como sigue: \[h^2=\left\{\begin{array}{ll} \ell_3^2-b^2\\ \ell_2^2-a^2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}\ell_3^2-(\ell_1-a)^2\\ \ell_2^2-a^2\end{array}\right. \text{ de modo que }\ell_3^2-\ell_1^2-a^2+2a\,\ell_1=\ell_2^2-a^2.\] Podemos fácilmente resolver esta ecuación y obtenemos\[a=\frac{\ell_1^2+\ell_2^2-\ell_3^2}{2\,\ell_1} \text{ y entonces } S=\frac{\ell_1\,h}{2}=\frac{\ell_1\sqrt{\ell_2^2-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{4\,\ell_1^2\ell_2^2-(\ell_1^2+\ell_2^2-\ell_3^2)^2}}{4}.\]La fórmula que buscamos se obtiene desarrollando el trinomio al cuadrado que está al interior de la raíz.

Conclusión

Con este tema terminamos la sección de trigonometría del curso. 
La tarea previa al examen, el examen de prueba y el primer examen están en las ligas siguiente

La tarea se puede descargar aquí:
https://drive.google.com/file/d/1W9B_ZdCJBZaOCUOtjIJI2UoxiR5hN-Ab/view?usp=sharing

El examen de prueba está aquí:
https://drive.google.com/file/d/1m8u9sLnqvXsPlcgM_cqNUTucwCIHPRDH/view?usp=sharing

El examen parcial está aquí:
https://drive.google.com/file/d/1lFbII1KxDUm4kcILY9VwX7o4mg6lgwiv/view?usp=sharing

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