10ma/Pappus y Descartes

Pappus y Descartes

Ahora comenzamos la unidad dedicada a la geometría analítica. Como vimos en clase, la geometría analítica que estudiamos en este curso es una disciplina que se ocupa de los problemas de la geometría clásica utilizando métodos algebraicos. Esta disciplina comenzó con René Descartes, con su libro llamado La Géometrie, que data de 1637. Uno de los problemas que motivó a Descartes fue planteado por Pappus que Descartes trata en la primera y segunda parte de su tratado. El problema de Pappus es un problema clásico de la matemática alejandrina (de la que ya discutimos mucho en la parte de trigonometría de este curso). Pappus fue profesor en la famosa biblioteca de Alejandría y al rededor del año 340 D.C.escribió un tratado llamado Synagoge, también conocido como Colección Matemática. En este tratado, Pappus comenta los trabajos de muchos matemáticos anteriores a él, entre los cuales Euclides y Ptolomeo. En ese libro Pappus se interesa en diversos problemas geométricos y los clasifica según su construcción. Hay entonces problemas planos, sólidos y lineales. Los problemas planos son los que se pueden resolver con regla y compás. Los problemas sólidos requieren para su solución del uso de la superficie de un sólido, como las secciones cónicas. Los problemas restantes requieren para su solución otras estructuras de forma variable, como las espirales, concoides, cisoide, etc. Uno de los problemas lineales que formuló Pappus y que quedó abierto desde la antigüedad hasta que lo abordó Descartes, se refiere a la determinación del lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a ciertas rectas satisfacen una cierta relación. Un caso particular, de los más fáciles y del que nos vamos a ocupar más tarde, es el siguiente: Dadas tres lineas L₁, L₂ y L₃, encontrar el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto de las distancias de P a L₁ y de P a L₂ es igual al cuadrado de la distancia de P a L₃. 

 

En otras palabras, si d₁=dist(P,L₁), d₂=dist(P,L₂) y d₃=dist(P,L₃), entonces el problema consiste en encontrar todos los puntos P tales que  d₁d₂=(d₃)².

 

Este problema estuvo abierto (sin solución) porque durante la antigüedad y edad media se buscaba una procedimiento que, usando regla, compás y movimientos bien definidos, permitiera dibujar el conjunto de puntos buscado. Descartes le sacó la vuelta a problema y lo reinterpretó de forma algebraica. 

 

Sistema de coordenadas, distancia entre puntos y el círculo

Lo primero que hizo Descartes fue localizar los puntos del plano utilizando dos líneas de referencia, que vamos a llamar ejes coordenados. Un punto se localiza dando su distancia a cada uno de esos ejes coordenados, como lo mostramos en la figura. 

El punto P se localiza por medio de su distancia (que puede ser positiva o negativa, según el lado del eje en el que se encuentre) a los ejes E₁ y E₂, que llamamos y y x respectivamente. En el mundo contemporáneo los ejes E₁ y E₂ se toman perpendiculares, pero eso en principio no es necesario aunque si muy útil y eso es lo que vamos a hacer de aquí en adelante. Esta elección simplifica en particular el cálculo de la distancia entre dos puntos, la que se determina a partir del teorema de Pitágoras. Esto lo ilustramos en la siguiente figura.

Entonces, la distancia entre dos puntos es una sencilla función de sus coordenadas que de deriva directamente del teorema de Pitágoras. 

 

El circulo es la figura geométrica más fácil de describir algebraicamente. Para su definición solo ser requiere la noción de distancia. Su definición clásica es la siguiente: El circulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno que llamamos centro. Con esto, el circulo es la colección de puntos que están todos a una misma distancia de un punto especial al que llamamos centro. Algebraicamente el circulo está determinado por las coordenadas de su centro, digamos (x₀,y₀), y la distancia entre todos los puntos del circulo y el centro, digamos r. Entonces, la ecuación del circulo con centro en C=(x₀,y₀) y radio r es \[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r, \text{ o sea } (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.\]

La linea recta

La otra figura geométrica básica y fácil de describir es la linea recta (fácil de describir pero difícil de definir). Una linea recta se determina completamente especificando dos de sus puntos, o bien dando uno de sus puntos y su dirección. Normalmente la dirección de la recta se determina por el ángulo que forma con el eje horizontal, o eje de las x, o también llamado eje de las abscisas. Pero ¿qué es una recta? La linea recta tiene esta característica muy importante: Para cada dos puntos P y Q en una línea recta, la longitud del segmento de la recta entre P y Q es igual a la distancia entre P y Q. Esta propiedad parece obvia, pero en realidad involucra un concepto que todavía no manejamos: la longitud de una figura geométrica. Este concepto es tema de un curso más avanzado. En la geometría clásica no se definen las rectas, sino que se dan como objetos primitivos a partir de los cuales se definen otros objetos. Para obtener una descripción algebraica de la recta vamos a usar un resultado de la geometría clásica que nos va a facilitar la tarea. Este resultado dice que dadas dos rectas que se intersecan en un ángulo oblicuo, todos los triángulos que se obtienen con estas dos rectas y las rectas perpendiculares a una de ellas son triángulos similares. Este resultado ya lo habíamos visto en la parte de trigonometría y corresponde a la siguiente figura.

En la figura todos los triángulos rectángulos con vértices (0,ꞵ), (x,ꞵ) y (x,y), que se forman tomando un punto (x,y) cualquiera en la recta oblicua (la que tiene forma un ángulo menor a 𝜋/2), son todos triángulos similares. Este hecho nos sirve para encontrar la ecuación que describe la recta oblicua. Si llamamos m a la tangente del ángulo 𝜃 que forma la recta oblicua con la recta horizontal y si (x,y) es un punto sobre la línea oblicua, entonces tendremos que \[m=\tan(\theta)=\frac{y-\beta}{x}, \text{ o sea } y=mx+\beta.\] El valor ꞵ se llama ordenada al origen y m=tan(𝜃) es la pendiente de la recta. Incluso las rectas horizontales son descritas por esta ecuación. Las rectas horizontales tiene pendiente m=0. La únicas rectas que no son descritas por esta ecuación son las rectas verticales. Una recta vertical que interseca al eje de las abscisas en el punto (a,0), está descrita por la ecuación x=a.

El circulo y la recta

Ahora que conocemos la ecuación que describe una recta y la que describe un círculo, podemos plantear y resolver nuestro primer problema de geometría analítica:  encontrar la intersección de la recta y el círculo. Sin perder generalidad podemos suponer que el círculo tiene su centro en el origen del plano cartesiano, entonces el círculo y la recta tienen ecuaciones \[x^2+y^2=r^2 \text{  y } y=m\,x+\beta\] respectivamente. Si (x,y) es es un punto en la intersección del círculo y la recta, entonces las coordenadas de ese punto satisfacen ambas ecuaciones. Entonces podemos sustituir la variable y en la ecuación del círculo por su valor en la recta que es mx+ꞵ. De esta forma obtenemos la ecuación \[x^2+(mx+\beta)^2=r^2, \text{ o sea } x^2(m^2+1)+2m\,\beta\,x+\beta^2-r^2=0.\]En resumen, si un punto (x,y) está en la intersección del círculo y la recta, entonces la coordenada x de ese punto satisface la ecuación cuadrática x²(m²+1)+2mꞵx+ꞵ²-r²=0 cuyas soluciones son \[x=\frac{-m\beta}{m^2+1}\pm \sqrt{\frac{m^2\beta^2}{(m^2+1)^2}-\frac{\beta^2-r^2}{m^2+1}}.\]Tenemos entonces una tricotomía (tres posibilidades lógicas que se excluyen entre si) dependiendo del signo del discriminante:\[\Delta=\frac{m^2\beta^2}{(m^2+1)^2}-\frac{\beta^2-r^2}{m^2+1}.\] 

• Si 𝛥<0, entonces no hay soluciones reales (ya que para calcular la variable x de las coordenadas de una intersección habría que sacar raíz cuadrada a un número negativo) y por tanto la recta no interseca al círculo en este caso.
• Si  𝛥=0, entonces solo hay una solución para la coordenada x de un punto de la intersección de la recta y el círculo, y por tanto solo una coordenada y=mx+ꞵ. Entonces, en el caso 𝛥=0 el círculo y la recta se intersecan en un solo punto. Decimos entonces que la recta es tangente al círculo y el punto que comparten es el punto de tangencia.
• Si 𝛥>0, entonces hay dos soluciones reales para la coordenada x de un punto de la intersección y por tanto la recta interseca al círculo en en dos puntos en este caso. Decimos que la recta es secante.
  

Recapitulando, el tipo de intersección de la reta y el círculo depende del signo del discriminate 𝛥. Si suponemos que la pendiente de la recta m no cambia, podemos preguntarnos cual es el valor de la ordenada al origen ꞵ para la cual no hay intersección, o hay tangencia o la recta es secante. Dependiendo del signo del discriminante obtenemos desigualdades o una ecuación para ꞵ como sigue: \begin{align*} \Delta <0 \text{ si y solo si } \frac{r^2}{m^2+1} & < \beta^2\left(\frac{1}{m^2+1}-\frac{m^2}{(m^2+1)^2}\right)=\frac{\beta^2}{(m^2+1)^2},\\ \Delta=0 \text{ si y solo si } \frac{r^2}{m^2+1} & = \beta^2\left(\frac{1}{m^2+1}-\frac{m^2}{(m^2+1)^2}\right)=\frac{\beta^2}{(m^2+1)^2},\\ \Delta > 0 \text{ si y solo si } \frac{r^2}{m^2+1} & > \beta^2\left(\frac{1}{m^2+1}-\frac{m^2}{(m^2+1)^2}\right)=\frac{\beta^2}{(m^2+1)^2}.\end{align*}De modo que 

•  ꞵ² > (m²+1)r² si y solo si no hay intersección entre el círculo y la recta,
  
•  ꞵ² = (m²+1)r² si y solo si la recta es tangente al círculo,
•  ꞵ² < (m²+1)r² si y solo si la recta es secate al círculo y lo corta en dos puntos.

Ilustramos esta tricotomía en la imagen siguiente.

Las condiciones de no intersección, tangencia e intersección dependen de una relación entre r y el valor absoluto de ꞵ, por lo que para la tangencia hay dos posibilidades como se ilustra en la figura. En el caso de la tangencia tenemos dos posibilidades, el punto L que corresponde a ꞵ > 0 y el punto K que corresponde a ꞵ < 0. Sus coordenadas son las siguientes: \begin{align*}L & = \left(\frac{-m\,r}{\sqrt{m^2+1}},\frac{r}{\sqrt{m^2+1}}\right),\\ K & =\left(\frac{m\,r}{\sqrt{m^2+1}},-\frac{r}{\sqrt{m^2+1}}\right)\end{align*} ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos I y J, cuando la recta es secante al círculo?

 

En la próxima entrada veremos perpendicularidad, distancia de un punto a una recta y ese resultado que dice que el radio que pasa por un punto de tangencia es perpendicular a la tangente.