13va entrada/Parábola-Aplicaciones

La antena parabólica

Las antenas parabólicas tienen una sección transversal en forma de parábola que al girar al rededor del eje del la parábola forma la superficie de la antena. La cara interior de la antena refleja la radiación que llega a la antena en rayos paralelos al eje de la antena como se ve en la figura.
Nuestro objetivo es demostrar que todos los rayos que inciden en la antena siguiendo la dirección del eje de la parábola se reflejan en dirección al foco, de modo que la antena concentra todos los rayos en el foco. Para probar esto debemos tomar en cuenta las leyes de reflexión que dicen que el ángulo de incidencia respecto a la recta tangente es igual al ángulo de reflexión respecto a la misma recta. Entonces debemos probar que el ángulo entre el rayo vertical que incide en el punto C y la tangente a la parábola que pasa por el punto C, es igual al ángulo entre la recta que contiene a C y al foco y la tangente a la parábola que pasa por el punto C. Para simplificar los cálculos vamos a suponer que el origen de las coordenadas está en el vértice de la parábola. Con esto podemos suponer que la ecuación de la parábola es del tipo y = 𝛼x², y entonces el punto C = (c, 𝛼c²), siendo c cualquier número real. Ya hemos visto que el foco de la parábola se encuentra en el punto F = (0, b) con 4𝛼=1/b y que la recta tangente en el punto C tiene pendiente m = 2𝛼c. Tenemos entonces que considerar las siguientes tres rectas: \begin{align*} \text{El rayo vertical R que pasa por C: } & x = c \\ \text{La tangente T que pasa por C: } & y = 2\alpha c (x-c)+\alpha c^2 \\ \text{La recta L que pasa por C y el Foco: } & y = \frac{\alpha c^2-b}{c}(x-c)+\alpha c^2 \\ & y = \left(\alpha c - \frac{1}{4\alpha c} \right) (x-c) + \alpha c^2 \end{align*}Ahora necesitamos medir los ángulos entre la primera y la segunda recta y comparar con el ángulo entre la segunda y la tercera.

Digamos que la recta tangente T forma un ángulo θ con la horizontal, que la recta L forma un ángulo ϕ con la horizontal y que T forma un ángulo 𝜓 con la vertical, o sea, con el rayo R. Entonces debemos comparar el ángulo 𝜓, que es el ángulo de incidencia del rayo R, y el ángulo θ-ϕ, que es el ángulo entre la recta L y la tangente T. Tenemos que \begin{align*}\tan(\psi) &= \tan(\pi/2-\theta)=\frac{{\rm sen}(\pi/2-\theta)}{\cos(\pi/2-\theta)}\\ &= \frac{{\rm sen}(\pi/2)\cos(\theta)-\cos(\pi/2)\,{\rm sen}(\theta)}{\cos(\pi/2)\cos(\theta)+{\rm sen}(\pi/2)\,{\rm sen}(\theta)} \\ &=\frac{\cos(\theta)}{{\rm sen}(\theta)}=\frac{1}{\tan(\theta)}=\frac{1}{2\alpha c}\\ \tan(\theta-\phi) &= \frac{{\rm sen}(\theta-\phi)}{\cos(\theta-\phi)} = \frac{{\rm sen}(\theta)\cos(\phi)-\cos(\theta)\,{\rm sen}(\phi)}{\cos(\theta)\cos(\phi)+{\rm sen}(\theta)\,{\rm sen}(\phi)} \\ &= \frac{\tan(\theta)-\tan(\phi)}{1+\tan(\theta)\tan(\phi)}\ \  \text{ al dividir arriba y abajo por } \cos(\theta)\cos(\phi)\\ &= \frac{2\alpha c - (\alpha c - 1/(4\alpha c))}{1+2\alpha c(\alpha c-1/(4\alpha c))}\ \ \text{ al sustituir por el valor de las pendientes}\\ &= \frac{\alpha c + 1/(4\alpha c)}{1+2\alpha^2 c^2-1/2}=\frac{4\alpha^2c^2+1}{2\alpha c(4\alpha^2c^2+1)}\ \ \text{ al multiplicar arriba y abajo por } 4\alpha c\\ &= \frac{1}{2\alpha c}\ \ \text{ al simplificar.}\end{align*}Puesto que ambas tangentes son iguales y ambos ángulos están entre 0 y 𝜋/2 radianes, entonces los ángulos entre R y T y entre T y L son iguales. Tomando en cuenta la ya mencionada ley de la reflexión, concluimos que todos los rayos paralelos al eje son reflejados en el foco y esta es la particularidad que hace tan eficientes a las antenas parabólicas.   
 

El tiro parabólico

En su curso de Física 1 vieron el tiro parabólico. Este se llama así porque su trayectoria es justamente una parábola. El problema es como sigue: Se lanza un proyectil con rapidez inicial v, en una dirección que forma un ángulo de θ radianes con la horizontal. Supongamos que el origen de coordenadas está justo en el punto de donde surge el lanzamiento, entonces las posiciones x y y del proyectil, en función del tiempo, están dada por las funciones: \begin{align*} x(t) &= v \cos(\theta)\, t\\ y(t) &= v\, {\rm sen}(\theta)\, t - \frac{g\,t^2}{2},\end{align*} donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Si remplazamos el t tiempo por la posición horizontal x, entonces obtenemos la trayectoria \[y(x) = \frac{ v\, {\rm sen}(\theta) }{v \cos(\theta)} x - \frac{g }{2\, v^2\, \cos^2(\theta)}\, x^2 = \tan(\theta)\,x - \frac{g }{2\, v^2\, \cos^2(\theta)}x^2 .\] 
 
A partir de la expresión de la trayectoria podemos calcular calcular varios parámetros físicos interesantes, en particular el alcance y la altura máxima. El alcance es la distancia horizontal que recorre el proyectil antes de tocar el suelo, es decir, el valor de x₀>0 tal que y(x₀)=0. Tenemos entonces, \begin{align*} y(x_0)&=0=\tan(\theta) x_0 - \frac{g}{2\, v^2\, \cos^2(\theta)}\,x_0^2,\\ \text{ entonce } x_0 &= \frac{2\,v^2\,\tan(\theta)\cos^2(\theta)}{g}=\frac{2\,v^2\,{\rm sen}(\theta)\cos(\theta)}{g} = \frac{v^2\,{\rm sen}(2\theta)}{g}.\end{align*}Aqui vemos que el alcance máximo se da cuando sen(2𝜃)=1, o sea, cuando 𝜃=𝜋/4. En tal caso, el acance máximo está dado por v²/g. Por otro lado, la altura máxima se da cuando el proyectil ha alcanzado la mitad de su alcance, es decir, cuando \[x=\frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g},\] por lo tanto \begin{align*} y_{\rm max}=y\left(\frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g}\right) &= \tan(\theta) \frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g} - \frac{g}{2\,v^2\,\cos^2(\theta)}\left(\frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g}\right)^2\\ &= \frac{v^2\, {\rm sen}^2(\theta)}{2\,g}\end{align*}Podemos también calcular algunos parámetros geométricos como la posición del foco y la directriz. Notemos que el eje de la parábola se sitúa sobre la recta \[x=\frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g}.\] Podemos reescribir la ecuación de la trayectoria de la forma \begin{align*}y &= -\frac{g}{2\,v^2\,\cos^2(\theta)} \left(x - \frac{v^2\,{\rm sen}(\theta)\,\cos(\theta)}{g}\right)^2 + \frac{v^2\,{\rm sen}^2(\theta)}{2\,g}. \end{align*}Si (a,b) son las coordenadas del foco y y=𝛽 es la ecuación de la directriz, entonces tenemos que \begin{align*} 2(b-\beta) &= -\frac{2\,v^2\,\cos^2(\theta)}{g}, \text{ entonce } b = \beta - \frac{v^2\,\cos^2(\theta)}{g},\\ \frac{b+\beta}{2} &= \frac{v^2\,{\rm sen}^2(\theta)}{2\,g}, \text{ entonces } b= -\beta + \frac{v^2\,{\rm sen}^2(\theta)}{g}. \end{align*}Con esto \begin{align*}\beta &=\frac{v^2}{2\,g}({\rm sen}^2(\theta)+\cos^2(\theta))=\frac{v^2}{2\,g} \\ b &= \frac{v^2}{2\, g} - \frac{v^2\, \cos^2(\theta)}{g} = \frac{v^2}{2\,g}(1-2\cos^2(\theta))\\ &= \frac{v^2}{2\,g}({\rm sen}^2(\theta)-\cos^2(\theta))  = -\frac{v^2}{2\,g}\cos(2\theta).\end{align*} Entonces, la posición del foco y la ecuación de la directriz son \[ \text{Foco} = \left( \frac{v^2\,{\rm sen}(2\theta)}{2\,g},-\frac{v^2}{2\,g}\cos(2\theta)\right), \text{ Directriz: } y=\frac{v^2}{2\,g}.\]Podemos notar que cuando el lanzamiento se hace en ángulo óptimo 𝜃=𝜋/4, entonces el foco se encuentra en la horizontal. Podemos también notar que la posición de la directriz no depende del ángulo de disparo. Hay entonces una relación interesante entre parámetros físicos y parámetros geométricos en este problema. 
 
Para terminar nuestro estudio de las parábolas, vamos ahora a considerar una pequeña generalización del problema del tiro parabólico.
 

Tiro parabólico en un plano inclinado 

Supongamos ahora que el lanzamiento se hace desde la base de un plano inclinado, con una inclinación de 𝜃 radianes respecto al plano inclinado, el cual tiene a su vez una inclinación de 𝛼 radianes respecto a la horizontal. Supongamos que el proyectil es lanzado con una rapidez de v metros por segundo en la dirección indicada. La trayectoria que seguirá el proyectil es la misma que calculamos en la sección anterior, solo que con una inclinación inicial del 𝛼+𝜃 radianes respecto a la horizontal. La ecuación esta trayectoria es entonces \[y(x)=\tan(\theta+\alpha)\,x-\frac{g}{2\,v^2\,\cos^2(\theta+\alpha)}\,x^2.\] Nos preguntamos ¿cuál es el alcance de este tiro en función de los ángulos 𝛼 y 𝜃? ¿Cuál es el ángulo 𝜃 de mayor alcance para cada inclinación 𝛼 del plano inclinado? Notemos primero que el alcance del disparo está dado por la longitud sobre el plano inclinado que se logra antes de que la trayectoria parabólica vuelva a intersecar el plano inclinado. 

Hemos colocado el origen de coordenadas en el punto desde donde se hace el lanzamiento, de donde parten tanto el plano inclinado como la trayectoria parabólica. El alcance es la distancia entre los puntos A y C de la figura. El punto A es el origen y el punto C se encuentra resolviendo la ecuación \[\tan(\alpha)\, x = \tan(\alpha+\theta)\,x-\frac{g}{2\,v^2\,\cos^2(\alpha+\theta)}\,x^2,\]de modo que \[\text{C}=\left(2\,v^2\,\cos^2(\alpha+\theta)\,\frac{\tan(\alpha+\theta)-\tan(\alpha)}{g}, 2\,v^2\,\tan(\alpha)\,\cos^2(\alpha+\theta)\,\frac{\tan(\alpha+\theta)-\tan(\alpha)}{g} \right).\]El alcance del tiro es la distancia entre el origen y el punto C, que resulta ser \begin{align*}\text{Alcance} &= 2\,v^2\,\cos^2(\alpha+\theta)\,\frac{\tan(\alpha+\theta)-\tan(\alpha)}{g}\sqrt{1+\tan^2(\alpha)} \\ &= \frac{2\,v^2\,\cos^2(\alpha+\theta)}{g\,\cos(\alpha)}\,\left(\tan(\alpha+\theta)-\tan(\alpha)\right) \\ &= \frac{2\,v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left({\rm sen}(\alpha+\theta)\,\cos(\alpha+\theta)-\tan(\alpha)\cos^2(\alpha+\theta)\right) \\ &= \frac{2\,v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left(\frac{1}{2}{\rm sen}(2(\alpha+\theta))-\tan(\alpha)\cos^2(\alpha+\theta)\right) \\ &= \frac{v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left({\rm sen}(2(\alpha+\theta))-\tan(\alpha)(\cos(2(\alpha+\theta))+1)\right),\end{align*}y esto responde a la primera pregunta que nos hicimos. Ahora, para encontrar el alcance máximo debemos de utilizar herramientas de su curso de Cálculo 1. El alcance, para cada valor de 𝛼 es una función A(𝜃) y lo que debemos hacer es encontrar el máximo de esta función de 𝜃. Como lo vieron ustedes en Cálculo, para encontrar el máximo de esta función, seguimos estos pasos:
  • Derivamos la función A(𝜃) y encontramos los valores de 𝜃 que anulan la derivada, es decir encontramos el conjunto \[E=\left\{\theta^*\in (-\pi/2,\pi/2) :\, \frac{dA}{d\theta}(\theta^*)=0\right\}.\] 
  • Evaluamos la función en los puntos del conjunto E y seleccionamos el valor más grande.
Con esto max(A)=max{A(𝜃*):  𝜃* ∈ E}. En nuestro caso resulta lo siguiente: \[\frac{dA(\theta)}{d\theta} = \frac{2\,v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left(\cos(2(\alpha+\theta)) + \tan(\alpha)\, {\rm sen}(2(\alpha+\theta))\right)=0,\]si y solo si cos(2(𝛼+𝜃))cos(𝛼)+sen(2(𝛼+𝜃))sen(𝛼)=0. Notemos cos(2(𝛼+𝜃))cos(𝛼)+sen(2(𝛼+𝜃))sen(𝛼)=cos(2(𝛼+𝜃)-𝛼), de modo que \[E=\left\{\theta^*\in(-\pi/2,\pi/2):\, \cos(\alpha+2\,\theta^*)=0\right\}=\left\{\theta^*\in(-\pi/2,\pi/2):\, \alpha+2\,\theta^*=\pi/2 +k\,\pi \right\},\]donde k es un entero que dependerá del valor de 𝛼. Por ejemplo, si 0≤𝛼<𝜋/2, entonces k=0 y tenemos que 𝜃*= 𝜋/4-𝛼/2. Si por el contrario -𝜋/2<𝛼<0, entonces k=-1 y tenemos 𝜃*= -𝜋/4-𝛼/2. Supongamos que 0≤𝛼<𝜋/2 como en la figura, entonces el valor del alcance para el ángulo 𝜃* es: \begin{align*}\max(A) &=  \frac{v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left({\rm sen}(\pi/2+\alpha)-\tan(\alpha)(\cos(\pi/2+\alpha)+1)\right) \\ &= \frac{v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left(\cos(\alpha)-\tan(\alpha)(-{\rm sen}(\alpha)+1)\right) \\ &= \frac{v^2}{g}\left(1+\tan^2(\alpha)-\frac{\tan(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right) \\ & = \frac{v^2}{g\,\cos(\alpha)}\left(\frac{1}{\cos(\alpha)}-\tan(\alpha)\right). \end{align*}
 
En la figura ilustramos el comportamiento del ángulo óptimo 𝜃*= 𝜋/4-𝛼/2 y del alcance máximo correspondiente. En este caso tomamos una velocidad inicial v tal que v²/g=1. Observamos que el alcance máximo se aproxima a v²/(2g) conforme 𝛼 se aproxima a 𝜋/2, que es la mitad del alcance máximo cuando 𝛼=0.
 

Tareas y examen de prueba 

Las tareas de repaso de esta parte del curso (hay dos versiones), que comprende rectas, círculos y parábolas, se encuentran en las siguientes ligas: 
https://drive.google.com/file/d/1lZiGSWU-9fLFCNcULWH7so0sqWxFVI3X/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1zKbNz_kjs3-_VcVOqKQ5uWXkttBzVNAd/view?usp=sharing

El exame de práctica se encuentra en esta liga:
https://drive.google.com/file/d/1zzVZlBsdfTYvtYC4XKEyo4lB1InV3rA7/view?usp=sharing

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