11va Ortogonalidad

Ortogonalidad

Pretendemos demostrar que la tangente a un circulo es perpendicular a radio que pasa por el punto de tangencia. Para poder probarlo necesitamos primero establecer un relación entre la pendiente de una recta y la pendiente de una perpendicular a esa recta. 


Tomemos una recta cualquiera de pendiente m y una perpendicular a ella, como se indica en la figura. Las rectas tiene entonces ecuaciones \[y=mx+\beta \text{ y } y=\bar{m}x+\delta.\] La perpendicularidad o no de esas rectas depende solo de sus pendientes, mientras que sus ordenadas al origen determinan el punto donde las rectas se intersecan. Notemos que \[m=tan(\alpha) \text{ y por lo tanto } \bar{m}=tan(\alpha+\pi/2).\] Desarrollando obtenemos \begin{align*}\bar{m}&=\frac{{\rm sen}(\alpha+\pi/2)}{\cos(\alpha+\pi/2)}=\frac{{\rm sen}(\alpha)\cos(\pi/2)+\cos(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}{\cos(\alpha)\cos(\pi/2)-{\rm sen}(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}\\ &=\frac{\cos(\alpha)}{-{\rm sen}(\alpha)}=-\frac{1}{{\rm sen}(\alpha)/\cos(\alpha)}=\frac{-1}{m}.\end{align*} Con esto hemos demostrado que si una recta tiene pendiente m, entonces cualquier recta que sea perpendicular a ella tiene pendiente -1/m. En el caso en que la recta original tenga pendiente 0 o ∞, es decir, que su ángulo respecto a la horizontal sea 0 o 𝜋/2, entonces sus perpendiculares tendrán pendientes ∞ y 0 respectivamente.

 

El rayo que pasa por el punto de tangencia

Regresando al problema que nos ocupa, consideremos el círculo x²+y²=r² y la recta y=mx+β que es tangente a ese círculo. Ya hemos visto que para que haya tangencia necesitamos que  ꞵ² = (m²+1)r², y en tal caso el punto de tangencia tiene coordenadas \begin{align*}(x_0,y_0)& = \left(\frac{-m\,r}{\sqrt{m^2+1}},\frac{r}{\sqrt{m^2+1}}\right),\\ (x_1,y_1)& =\left(\frac{m\,r}{\sqrt{m^2+1}},-\frac{r}{\sqrt{m^2+1}}\right)\end{align*} dependiendo si tomamos ꞵ positivo o negativo. Tomemos el caso en que ꞵ es positivo, ya que el otro caso es análogo y se resuelve de manera similar. Entonces, el problema que nos ocupa es encontrar la pendiente del radio que pasa por el punto (x₀, y₀) y el origen de coordenadas y verificar que esta pendiente corresponde a una perpendicular a la recta tangente y=mx+β. Como esta recta pasa por el origen, entonces su ecuación es del tipo y=qx, y lo que necesitamos en calcular la pendiente q de esta recta. Para ello sustituimos los valores de las coordenadas  x₀ y y₀ en la ecuación de la recta, de donde resulta que  \[q=\frac{y_0}{x_0}=\left(\frac{r}{\sqrt{m^2+1}} \right)\big/\left( \frac{-m\,r}{\sqrt{m^2+1}}\right)=\frac{-1}{m},\] que es justo lo que esperábamos.
 

 

Distancia de un punto a una recta

Ahora que conocemos la noción de perpendicularidad y cómo se calcula la pendiente de una perpendicular, vamos a poder resolver el problema de encontrar la distancia de un punto a una recta. Dado un punto P=(a,b) y una recta L, la distancia de P a L es la longitud del segmento de recta perpendicular a L que pasa por el punto P, justo como se ve en la figura.

Como la el segmento es perpendicular a la recta L, entonces sabemos que su ecuación de la recta que contiene ese segmento debe ser del tipo y=-x/m+𝛿. Para calcular la longitud del segmento entre P y la recta L, lo que necesitamos hacer es encontrar el punto Q donde el segmento y la recta L se intersecan y después calcular la distancia entre P y el punto Q. Esa distancia será la distancia entre P y la recta L. Primero necesitamos encontrar el valor de la ordenada al origen 𝛿 de la recta que contiene al segmento. Para esto basta sustituir las coordenadas (a,b) del punto P en la ecuación, y así obtenemos \[\delta=b+\frac{a}{m}=\frac{mb+a}{m}.\]Luego Q es el punto de intersección entre y=mx+β y y=-x/m+(mb+a)/m. Para obetener sus coordenadas tenemos que resolver el sistema de estas dos ecuaciones. Entonces, igualando las dos ecuaiones obtenemos \begin{align*}mx+\beta&=\frac{mb+a-x}{m}\\(m^2+1)x&=mb+a-m\beta\\x&=\frac{m(b-\beta)+a}{m^2+1}.\end{align*}Luego, evaluando esta ordenada en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la ecuación de L, obtenemos \[y=m\frac{m(b-\beta)+a}{m^2+1}+\beta=\frac{m^2b+ma+\beta}{m^2+1}.\] Finalmente, para obtener la distancia entre P y L tenemos que calcular la distancia entre el punto P=(a,b) y el punto \[Q=\left(\frac{m(b-\beta)+a}{m^2+1},\frac{m^2b+ma+\beta}{m^2+1)}\right).\] Hacemos el cálculo y obtenemos\begin{align*}d&=\sqrt{\left(a-\frac{m(b-\beta)+a}{m^2+1}\right)^2+\left(b-\frac{m^2b+ma+\beta}{m^2+1}\right)^2}\\&=\frac{1}{m^2+1}\sqrt{(m^2a-m(b-\beta))^2+(b-(ma+\beta))^2}\\&=\frac{1}{m^2+1}\sqrt{m^2(ma+\beta-b)^2+(ma+\beta-a)^2}\\&=\frac{\sqrt{m^2+1}}{m^2+1}\sqrt{(ma+\beta-b)^2}=\frac{|ma+\beta-b|}{\sqrt{m^2+1}}.\end{align*} Este cálculo es válido incluso para m=0. En el caso en el que L sea una recta vértical, del tipo x=ɑ, entonces la distancia entre P=(a,b) y L es simplemente |a-ɑ|.

En la próxima entrada del blog veremos la parábola, un resultado interesante sobre la parábola y una aplicación a la física.

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