12va/La parábola 1a parte

La parábola

En la geometría clásica la parábola puede definirse como una sección cónica, es decir, una de las posibles curvas que se obtienen al intersecar un cono con un plano. También puede definirse de manera similar al círculo, a partir de la distancia de sus puntos a otros objetos geométricos. La segunda opción es la que vamos a tomar. Según esta segunda opción, la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto específico llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Entonces, si al foco lo llamamos f y a la directriz la llamamos D, entonces el punto P=(x,y) estará en la parábola si y solo si \[{\rm dist}(P,f)={\rm dits}(P,D).\] Ahora ya conocemos las fórmulas para calcular la distancia de un punto a otro y de un punto a una recta. Digamos que f=(a,b) y que la directriz D tiene ecuación y=mx+β, entonces P=(x,y) está en la parábola si y solo si \[\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\frac{|mx+\beta-y|}{\sqrt{m^2+1}}.\] Si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos \begin{align*} x^2 + y^2 - 2ax - 2by +  a^2 + b^2 &= \frac{m^2x^2 + \beta^2 + y^2-2mxy-2\beta y+2m\beta x}{m^2+1} \\ x^2 + m^2y^2 - 2a(m^2+1)x - 2b(m^2+1)y + (a^2+b^2)(m^2+1) &= \beta^2 - 2mxy - 2\beta y + 2m\beta x \\ x^2+2mxy + m^2y^2 - 2(m\beta + a(m^2+1))x + 2(\beta-b(m^2+1))y  &= \beta^2-(a^2+b^2)(m^2+1) \\ (x+my)^2 - 2(m\beta + a(m^2+1))x + 2(\beta-b(m^2+1))y &= \beta^2-(a^2+b^2)(m^2+1).\end{align*} Esta expresión se puede llevar a la forma siguiente, \[  \left(b - \frac{\beta}{m^2+1} \right) y + \left( a + \frac{m \beta}{m^2+1} \right) x = \frac{ (x+my)^2 }{ 2(m^2+1) }  + \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{\beta^2}{2(m^2+1)}  \] 

Si la directriz es horizontal, es decir, si m=0, obtenemos una parábola vertical con ecuación \[(b-\beta)y=\frac{x^2}{2} - ax + \frac{a^2+b^2}{2} - \frac{\beta^2}{2}, \text{ es decir, } y=\frac{(x-a)^2}{2(b-\beta)} + \frac{b^2-\beta^2}{2(b-\beta)}. \] Entonces, toda expresión del tipo \[y = p x^2 + q x + r\]describe una parábola vertical. La relación entre los parámetros geométricos de la parábola y los coeficientes p, q y r es la siguiente \[ p=\frac{1}{2(b-\beta)},\ q= \frac{-a}{b-\beta},\  r=\frac{a^2+b^2-\beta^2}{2(b-\beta)}.\] Un primer problema que podemos resolver es encontrar, a partir de p, q y r, los valores de los parámetros geométricos a, b y β. Resolviendo las tres ecuaciones, lo que se deja de tarea al lector, obtenemos \[ a = \frac{-q}{2p},\ b = r - \frac{1}{4p}(q^2-1),\ \beta = r + \frac{1}{4p}(q^2+1) .\] Con esto podemos encontrar el foco y la directriz de una parábola a partir de la expresión de la parábola. En una entrada futura del blog vamos a presentar una lista de problemas donde aparecerán problemas de este tipo.

La tangente a la parábola

Vamos a considerar una parábola con foco en el eje x=0 y y una directriz horizontal y la familia de todas las rectas de pendiente m. Estas rectas pueden o no intersecar a la parábola, y si la intersecan entonces la intersección se puede dar en un punto o en dos puntos. En el primer caso la recta es tangente a la parábola y el punto donde se encuentra es el punto de tangencia. Para ser más preciso, consideremos la parábola \[y=\frac{x^2}{2(b-\beta)}+\frac{b^2-\beta^2}{2(b-\beta)}=\frac{x^2}{2(b-\beta)}+\frac{b+\beta}{2}\] y la familia de rectas \[y=mx+d, \text{ variando } d\in\mathbb{R}.\] Las preguntas que nos hacemos son: 

• ¿Cuáles valores de d para los cuales la recta y la parábola se intersecan? 
• ¿Cuales son los puntos de intersección?    

Si la recta y la parábola se intersecan, entonces las abscisas (coordenadas x) de los puntos de intersección satisfacen la ecuación \[mx + d = \frac{x^2}{2(b-\beta)}+\frac{b+\beta}{2} \text{ o sea, } x^2 - 2(b-\beta)mx + (b-\beta)(b+\beta-2d) = 0,\] cuya solución es \begin{align*} x &= (b-\beta)m \pm \sqrt{(b-\beta)^2m^2 - (b-\beta)(b+\beta-2d)}\\ &= (b-\beta)m \pm  \sqrt{(b-\beta)((m^2-1)b-(m^2+1)\beta) +2d)}.\end{align*} Vamos a suponer que la parábola se abre hacia arriba, es decir, que b>𝛽. En ese caso el signo del discriminante de la ecuación que acabamos de plantear depende de la diferencia b(m²-1)-𝛽(m²+1)-2d y tenemos las tres situaciones siguentes: \begin{align*} d &< (m^2+1)\beta/2-(m^2-1)b/2, \text{ cero intersecciones,}\\ d &= (m^2+1)\beta/2-(m^2-1)b/2, \text{ un punto de tengencia,} \\  d  & > (mb/2^2+1)\beta/2-(m^2-1), \text{ dos puntos intersecciones.} \end{align*} Estas situaciones se ilustran en la figura siguiente.

En este caso las rectas L₁ y L₂ hay dos puntos de intersección, en la recta L₃ hay un punto de tangencia, mientras que en la recta L₄ ya no hay ninguna intersección. En cuál condición nos encontramos depende del parámetro d, la ordenada al origen de la recta. La situación que nos interesa es cuando tenemos tangencia. En ese caso la abscisa del punto de tangencia es x=m(b-β), y por lo tanto la ordenada de ese punto es\[y = m^2(b-\beta) + d = m^2(b-\beta) + (m^2+1)\frac{\beta}{2} - (m^2-1)\frac{b}{2} = (m^2+1)\frac{\beta}{2} - (m^2-1)\frac{b}{2}. \] En resumen, una recta de pendiente m intersecta a la parábola \[ y = \frac{x^2}{2(b-\beta)}+\frac{b+\beta}{2}, \] siempre y cuando la ordenada al origen de la recta sea \[d = (m^2+1)\frac{\beta}{2} - (m^2-1)\frac{b}{2}. \] En este caso, el punto de tangencia es \[(x_0,y_0)=\left(m(b-\beta), (m^2+1)\frac{\beta}{2} - (m^2-1)\frac{b}{2}\right).\] 

Ahora que conocemos la relación entre pendiente y punto de tangencia, podemos responder la pregunta ¿Cuál es la pendiente de la recta que es tangente a la parábola, con punto de tangencia (x₀, y₀)? Para responder esta pregunta usamos el resultado del párrafo anterior y obtenemos \[ x_0=m(b-\beta), \text{ entonces } m=\frac{x_0}{b-\beta}.\] Recordemos que la parábola tiene ecuación \[y=\frac{x^2}{2(b-\beta)}+\frac{b+\beta}{2},\] entonces, para una parábola con ecuación \[ y=\alpha\, x^2+\delta,\] la pendiente de la recta tangente a esta parábola, que pasa por el punto (x, ꭤx²+δ) es m=2ꭤx. Esto lo verán con más detalle en su curso de cálculo.