14-ava/La elipse

La elipse

Hay tres maneras de definir la elipse. La primera, que se parece a la definición que vimos para la parábola, dice lo siguiente:
Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante menor que uno. Esta constante es llamada excentricidad. 
Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la elipse si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (0,1). El caso e = 1 corresponde a la parábola como ya vimos. 
Supongamos que la directriz es vertical y tiene ecuación x = α y que el foco tiene coordenadas (f,0). Entonces un punto (x,y) pertenece a la elipse si y solo si \[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=e\, |x - \alpha|\] Notemos que la curva descrita por esta ecuación tiene las siguientes simetrías. Podemos cambiar y por -y, de modo que si (x,y) pertenece a la elipse, entonces (x,-y) también. De modo que la elipse aquí descrita es simétrica respecto al eje x. 
 

Forma estándar de la elipse

La segunda definición de la elipse está dada por su forma estándar, la cual depende de los siguientes parámetros: el centro de la elipse C, el semi-eje vertical A, y el semi-eje horizontal B. Desarrollemos la ecuación de la elipse para llevarla a su forma estándar. Vimos que un punto (x,y) pertenece a un la elipse con foco F=(f,0), directriz D: x = 𝛼, y excentricidad e, si \[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=e\, |x-\alpha|.\] Para llevar esta ecuación a su forma estándar elevamos ambos miembros al cuadrado y agrupamos los términos en x y en y completando cuadrados. De esta forma obtenemos \begin{align*} (x-f)^2+y^2&=e^2(x-\alpha)^2\\ (x-f)^2-e^2(x-\alpha)^2+y^2&=0\\ (1-e^2)x^2-2x(f-e^2\alpha)+y^2&=e^2\alpha^2-f^2\\(1-e^2)\left(x^2-2x\frac{f-e^2\alpha}{1-e^2}\right)+y^2&=e^2\alpha^2-f^2\\(1-e^2)\left(x^2-2x\frac{f-e^2\alpha}{1-e^2}+\left(\frac{f-e^2\alpha}{1-e^2}\right)^2\right)+y^2&=e^2\alpha^2-f^2+\frac{(f-e^2\alpha)^2}{1-e^2}\\(1-e^2)\left(x-\frac{f-e^2\alpha}{1-e^2}\right)^2+y^2&=\frac{e^2(\alpha-f)^2}{1-e^2}\end{align*} Esta última ecuación la podemos escribir como \[ \left( \frac{x-x_0}{A} \right)^2 + \left( \frac{y-y_0}{B}\right)^2=1 \] haciendo \begin{align*}x_0&=\frac{f-e^2\alpha}{1-e^2}\\ y_0&=0\\ A&=\frac{e(\alpha-f)}{1-e^2}\\ B &=\frac{e(\alpha-f)}{\sqrt{1-e^2}}=A\sqrt{1-e^2}\end{align*} El punto C = (x₀,y₀) es el centro de la elipse. Es el centro ya que si (x,y)=(x₀+p,y₀+q) pertenece a la elipse, entonces (x',y')=(x₀-p,y₀-q) también pertenece a la elipse, de modo que la elipse tiene simetría por reflexión sobre los ejes x=x₀ y y=y₀. Los parámetros A y B son las longitudes de los semi-ejes horizontal y vertical respectivamente. Tomando en cuenta la última de las ecuaciones, dado que e < 1, vemos que B < A. Esto se ilustra en la figura siguiente.
La elipse tiene cuatro vértices, que son los dos puntos más lejanos y los dos puntos más cercanos a su centro. Esto se calculan así: \[V=(x_0\pm A, y_0), \, V'=(x_0,y_0\pm B).\] Los puntos V son los vértices horizontales, que en este caso son los puntos de la elipse más alejados del centro. Los puntos V' son los vértices verticales y en este caso son los puntos de la elipse más cercanos al centro.

Suma de distancias

La tercera definición de la elipse es la siguiente: 
La elipse con focos F, F' y suma S es la colección de puntos tales que la suma de sus distancias a ambos focos es igual a S. 
Partiremos de la primera definición que dimos más arriba. Tenemos entonces una elipse definida en términos de un foco F, una directriz D y una excentricidad e. El foco F=(f,0) tiene un foco reflejo F'=(f', 0) que se obtiene reflejando F en el centro de la elipse. Notemos que \[x_0+e\, A = \frac{ f - e^2\,\alpha}{ 1 - e^2} + e\frac{e(\alpha-f)}{1-e^2} = \frac{f-e^2\,f}{1-e^2}=f,\] de modo que \[ f' = x_0 - e\,A = \frac{ f - e^2\,\alpha}{ 1 - e^2} - e\, \frac{ e (\alpha - f )}{ 1 - e^2 } = \frac{ f ( 1 + e^2 ) - 2 e^2\, \alpha}{ 1 - e^2 }. \] Así que los dos focos F y F' están a distancia eA del centro de la elipse. Por otro lado, \[ x_0 + \frac{A}{e} = \frac{f - e^2\, \alpha}{ 1 - e^2 } + \frac{ e ( \alpha - f ) }{ e ( 1 - e^2 ) } = \alpha, \] así que el reflejo de la directriz respecto al centro de la elipse es la recta D': x = 𝛼' con \[ \alpha' = x_0 - \frac{A}{e} = \frac{f-e^2\,\alpha}{1-e^2} - \frac{\alpha-f}{1-e^2} = \frac{2\, f-(1 + e^2)\alpha}{1-e^2}.\] Tomemos un punto (x,y) en la elipse y calculemos la suma de sus distancias a los focos F y F'. Es fácil comprobar que si el punto P=(x, y) pertenece a la elipse con foco F, directriz D y excentricidad e, entonces \[ {\rm dist}(P, F') = e\,{\rm dist}(P, D'). \] Esto proviene del hecho de que la elipse es simétrica bajo reflexión al rededor del eje x = x₀. Tomando esto en cuenta, el punto P=(x,y) en la elipse satisface las ecuaciones \begin{align*} {\rm dist}(P,F) + {\rm dist}(P,F') & = e\, \left({\rm dist}(P,D) + {\rm dist}(P,D') \right)\\ & = e\, \left( |x - \alpha | + | x - \alpha' | \right) \\ & = e\, \left( \alpha - x + x- \alpha' \right) \\ & = e\, \left( \alpha - \alpha' \right). \end{align*} Como \[ x_0 + \frac{A}{e} = \alpha, \text{ y } x_0 - \frac{A}{e} = \alpha', \] entonces \[ e\, \left( \alpha - \alpha'\right) = e\, \frac{2\, A}{e} = 2\, A. \] Con esto obtenemos una  definición alternativa de la elipse: la elipse con focos F=(f,0) y F'=(f',0) y directrices D y D' es la colección de puntos P tales que \[{\rm dist}(P,F)+{\rm dist}(P,F') = 2\,\sqrt{{\rm dist}(F,F')\,{\rm dist}(D,D')}. \] En lugar de dar las posiciones de las directrices, podemos simplemente fijar la suma de las distancias \[ S = 2\,\sqrt{{\rm dist}(F, F')\,{\rm dist}(D, D')}, \] y con esto obtenemos la tercera definición de la elipse. 

Tarea sugerida: 
  1. Comprueba que \[{\rm dist}(P, F)=e\, {\rm dist}(P, D)\,\text{ si y solo si } {\rm dist}(P, F')=e\, {\rm dist}(P, D').\]
  2. Compruebe que  \[2\,\sqrt{{\rm dist}(F, F')\,{\rm dist}(D, D')}=e\, (\alpha - \alpha') = 2\, A. \]
  3. Encuentre los puntos donde se intersectan las elipses \[ \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\, \text{ y }\, x^2 + \frac{y^2}{4} = 1. \] 

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