16ava entrada/La hipérbola

La hipérbola

Igual que en el caso de la elipse, para la hipérbola hay tres posibles definiciones que son análogas a las tres definiciones de la elipse. De aquí en adelante el discurso será entonces análogo al de la 14ava entrada del blog. 
La primera definición de la hipérbola dice lo siguiente:
Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante mayor que uno. Esta constante es llamada excentricidad. Nótese que en este caso la definición es exactamente igual que para la elipse, con la diferencia que en este caso la excentricidad es mayor que uno.
Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la hipérbola si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (1,∞). Como ya vimos, el caso e < 1 corresponde a la elipse y el caso e = 1 a la parábola. 
Supongamos que la directriz es vertical y tiene ecuación x = α y que el foco tiene coordenadas (f, 0). Entonces un punto (x,y) pertenece a la hipérbola si y solo si \[\sqrt{ ( x - f )^2 + y^2} = e\, |x - \alpha|\] Notemos que la curva descrita por esta ecuación tiene las siguientes simetrías. Podemos cambiar y por -y, de modo que si (x, y) pertenece a la hipérbola, entonces (x, -y) también. De modo que la hipérbola aquí descrita es simétrica respecto al eje x. 
 

Forma estándar de la hipérbola

La segunda definición de la hipérbola está dada por su forma estándar, definición que depende de los siguientes parámetros: el centro de la hipérbola C, el semi-eje horizontal A, y el semi-eje vertical B. Desarrollemos la ecuación de la hipérbola para llevarla a su forma estándar. Vimos que un punto (x, y) pertenece a la hipérbola con foco F=(f, 0), directriz D: x = 𝛼, y excentricidad e, si \[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=e\, |x - \alpha|. \] Para llevar esta ecuación a su forma estándar hacemos exactamente lo mismo que en el caso de la elipse, es decir,  elevamos ambos miembros al cuadrado y agrupamos los términos en x y en y completando cuadrados. De esta forma obtenemos \begin{align*} ( x - f )^2 + y^2 & = e^2 ( x - \alpha )^2 \\ ( x - f )^2 - e^2 ( x - \alpha)^2 + y^2 & = 0 \\ (1-e^2) x^2 - 2 x (f - e^2 \alpha) + y^2 & = e^2 \alpha^2 - f^2 \\ (1 - e^2 ) \left(x^2 - 2 x \frac{f-e^2 \alpha}{1 - e^2 }\right) + y^2 & = e^2 \alpha^2 - f^2 \\ (1 - e^2) \left( x^2 - 2 x \frac{ f - e^2 \alpha }{ 1 - e^2 } + \left( \frac{ f - e^2 \alpha }{ 1 - e^2 } \right)^2 \right) + y^2 & = e^2 \alpha^2 - f^2 + \frac{ ( f - e^2 \alpha)^2 }{ 1  - e^2 } \\ ( 1 - e^2 ) \left( x - \frac{ f - e^2 \alpha }{ 1 - e^2 } \right)^2 + y^2 & = \frac{ e^2 ( \alpha - f )^2 }{ 1 - e^2 } \end{align*} Dado que e > 1, podemos escribir esta última ecuación como \[ ( e^2 - 1 ) \left( x - \frac{ e^2 \alpha - f}{ e^2 - 1} \right)^2 - y^2  = \frac{ e^2 ( \alpha - f )^2 }{ e^2 - 1 } \] que también puede escribirse como \[ \left( \frac{ x - x_0 }{ A } \right)^2 - \left( \frac{ y - y_0 }{ B }\right)^2 = 1 \] haciendo \begin{align*} x_0 &= \frac{e^2 \alpha - f }{ e^2 - 1} \\ y_0 & = 0 \\ A & = \frac{ e ( \alpha - f ) }{ e^2 - 1 } \\ B & = \frac{ e ( \alpha - f ) }{ \sqrt{ e^2 - 1}} = A \sqrt{e^2 - 1 }\end{align*} El punto C = (x₀,y₀) es el centro de la hipérbola. Es el centro ya que si (x , y) = (x₀+p, y₀+q) pertenece a la hipérbola, entonces (x', y')=(x₀-p, y₀-q) también pertenece a la hipérbola, de modo que la hipérbola tiene simetría por reflexión sobre los ejes x=x₀ y y=y₀. Los parámetros A y B son las longitudes de los semi-ejes horizontal y vertical respectivamente. Un ejemplo de esta curva se presenta en la figura siguiente.
La hipérbola tiene asociada una hipérbola conjugada que se obtiene cambiando el signo de los términos de x y de y, de modo que para la hipérbola \[ \left( \frac{ x - x_0 }{ A } \right)^2 - \left( \frac{ y - y_0 }{ B }\right)^2 = 1, \] su conjugada es la hipérbola \[ \left( \frac{ y - y_0 }{ B }\right)^2 - \left( \frac{ x - x_0 }{ A } \right)^2  = 1. \] Los cuatro vértices de esta pareja de hipérbolas son los cuatro puntos más cercanos a su centro común. La hipérbola de la figura anterior y su conjugada en la figura siguiente.



Diferencia de distancias

La tercera definición de la hipérbola es la siguiente: 
La elipse con focos F, F' y diferencia Δ es la colección de puntos tales que la diferencia de su distancia a F menos su distancia a F' es igual a Δ. 
Como en el caso de la elipse partiremos de la primera definición que dimos más arriba. Dada la hipérbola definida en términos del foco F = (f, 0), a directriz D: x = 𝛼 y excentricidad e > 1, definimos el foco reflejo F' = (f', 0) que se obtiene reflejando F en el centro de la hipérbola. Notemos que \[x_0 - e\, A = \frac{e^2\,\alpha - f }{e^2 - 1} - e \frac{e(\alpha-f)}{e^2 - 1} = \frac{ e^2\,f - f }{ e^2 - 1 } = f,\] de modo que \[ f' = x_0 + e\,A = \frac{ e^2\,\alpha - f }{ e^2 - 1} + e\, \frac{e ( \alpha - f )}{ e^2 - 1 } = \frac{ 2 e^2\,\alpha - f ( e^2 + 1) }{ e^2 - 1}. \] Así que los dos focos F y F' están a distancia eA del centro de la hipérbola. Por otro lado, \[ x_0 - \frac{A}{e} = \frac{e^2\,\alpha - f}{e^2 - 1} - \frac{e(\alpha-f)}{e( e^2 - 1 )} = \alpha,\] así que el reflejo de la directriz respecto al centro de la elipse es la recta D': x = 𝛼' con \[ \alpha' = x_0 + \frac{A}{e} = \frac{e^2\,\alpha - f}{e^2 - 1} + \frac{ \alpha - f }{e^2 - 1} = \frac{ (e^2 + 1)\alpha - 2\, f }{e^2 - 1}.\] Tomemos un punto (x, y) en la elipse y calculemos la suma de sus distancias a los focos F y F'. Para ello conviene considerar la directriz reflejo D'. Es fácil comprobar que si el punto P=(x, y) pertenece a la elipse con foco F, directriz D y excentricidad e, entonces \[{\rm dist}(P, F')=e\,{\rm dist}(P, D').\] Esto proviene del hecho de que la hipérbola es simétrica bajo reflexión al rededor del eje x = x₀. Tomando esto en cuenta, un punto P=(x,y) en la rama izquierda de la hipérbola satisface las ecuaciones \begin{align*} {\rm dist}(P, F') - {\rm dist}(P, F) &= e\, \left({\rm dist}(P, D') - {\rm dist}(P, D) \right)\\ & = e\, \left( | x - \alpha' | - | x - \alpha | \right) \\ & = e\, \left( (\alpha' - x) - (\alpha - x) \right) \\ & = e\, \left( \alpha' - \alpha \right). \end{align*} Como \[ x_0 - \frac{A}{e} = \alpha, \text{ y } x_0 + \frac{A}{e} = \alpha', \] entonces \[ e\,\left( \alpha' - \alpha \right) = e\, \frac{2\,A}{e} = 2\, A. \] Si tomamos un punto P=(x,y) en la rama derecha de la hipérbola y repetimos el cálculo anterior, obtendremos que \[ {\rm dist}(P, F') - {\rm dist}(P, F) = e\, \left( | x - \alpha' | - | x - \alpha | \right) =  e\, \left( (x- \alpha') - (x - \alpha ) \right) =  e( \alpha - \alpha') = - 2\, A\] Con esto obtenemos una  definición alternativa de la hipérbola: la hipérbola con focos F=(f, 0) y F'=(f', 0) y directrices D y D' es la colección de puntos P tales que \[\left|{\rm dist}(P, F)- {\rm dist}(P, F')\right| = \sqrt{{\rm dist}(F, F')\,{\rm dist}(D, D')}. \] En lugar de dar las posiciones de las directrices, podemos simplemente fijar la diferencia de las distancias \[ \Delta = \sqrt{{\rm dist}(F,F')\,{\rm dist}(D,D')}, \] y con esto obtenemos la tercera definición de la elipse. 

Tarea sugerida: 
  1. Comprueba que \[{\rm dist}(P, F)=e\, {\rm dist}(P, D)\,\text{ si y solo si } {\rm dist}(P, F')=e\, {\rm dist}(P, D').\]
  2. Compruebe que  \[\sqrt{{\rm dist}(F,F')\,{\rm dist}(D,D')}=e\, |\alpha-\alpha'|=2\,A.\]


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