15ava entrada/La tangente a la elipse

La tangente a la elipse

Tomemos una elipse centrada en el origen en su forma estándar:\[ \left( \frac{x}{A} \right)^2+\left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1. \] Consideremos ahora la familia de rectas \[ y = m x + \beta, \text{ con } m \text{ fija y } \beta \text{ arbitraria.}\] Como hemos hecho en otras ocasiones, vamos a buscar el valor de β tal que la recta en cuestión es tangente a la elipse (ver figura).

Para encontrar el valor de β para el cual la recta es tangente a la elipse, encontramos las condiciones para que la intersección de la recta y la elipse se dé en un solo punto. Así tenemos, \[ \text{ si} y=m x + \beta\, \text{ y }\,  \left( \frac{x}{A} \right)^2 + \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1,\, \text{ entonces }\, \left( \frac{x}{A} \right)^2 +\left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1. \] Así, la o las abscisas de la intersección son los valores de x que resuelven la ecuación cuadrática \[ x^2\, \frac{B^2 + A^2 m^2}{A^2 B^2} + 2\, x\, \frac{m\, \beta}{B^2} + \frac{\beta^2 - B^2 }{B^2} = 0,\, \text{ o sea },\, (B^2 + A^2 m^2) x^2 + 2\, x\, m\, \beta\, A^2 + ( \beta^2 - B^2)\, A^2 = 0.\] La solución a esta ecuación es: \begin{align*} x &= \frac{-2\, m\,\beta\, A^2 \pm \sqrt{4\, m^2\,\beta^2\,A^4 - 4\, ( B^2 + A^2 m^2 ) ( \beta^2 - B^2)\, A^2}}{2\, (B^2 + A^2 m^2) } \\ & = \frac{-\, m\,\beta\, A^2 \pm A\,\sqrt{m^2\,\beta^2\,A^2 - ( B^2 + A^2 m^2 ) ( \beta^2 - B^2 ) } }{ B^2 + A^2 m^2 } \\ & =  \frac{-\, m\,\beta\, A^2 \pm A\,B\,\sqrt{m^2\,A^2 + B^2 - \beta^2} }{ B^2 + A^2\, m^2}. \end{align*} Tenemos entonces una tricotomía, dependiendo del signo del discriminante. 
  1. Si m² A² + B² < 𝛽², entonces no hay solución.
  2. Si m² A² + B² = 𝛽², entonces hay una sola solución y la recta es tangente a la elipse.
  3. Si m² A² + B² > 𝛽², entonces hay una doble intersección, de modo que la recta es secante a la elipse. 

El caso que nos interesa es m² A² + B² = 𝛽², de modo que la relación entre la pendiente de la recta y la ordenada al origen es: \[\beta=\pm \sqrt{m^2\,A^2+ B^2} =\pm A\,\sqrt{m^2+1-e^2}, \] donde e es la excentricidad de la elipse. El caso del círculo, que ya vimos en la entrada número 10 que la condición de tangencia es (m²  + 1) r² = 𝛽², lo que corresponde a una elipse con excentricidad e = 0 y semi-eje horizontal A=r. En conclusión, hay dos rectas tangentes a la elipse \[\left( \frac{x}{A} \right)^2 +\left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1, \] con pendiente m, y son: \[y= m\, x + \sqrt{m^2\,A^2+ B^2}\, \text{ y }\, y = m x - \sqrt{m^2\,A^2+ B^2}. \] Los puntos de tangencia son respectivamente \[(x, y) = \left( \frac{ - m\,A^2 }{ \sqrt{ m^2\, A^2 +B^ 2} }, \frac{ B^2 }{ \sqrt{ m^2\, A^2+B^2} } \right)\,  \text{ y } (x,y) = \left( \frac{ m\,A^2 }{ \sqrt{ m^2\, A^2+ B^2} },  \frac{ - B^2 }{ \sqrt{ m^2\, A^2 + B^2} } \right) \] respectivamente. 

La derivada de la función f(x) = (B/A) √(A² - x²)

Si despejamos y en la ecuación de la forma estándar de la elipse centrada en el origen y con semi-ejes A y B, obtenemos la función \[f(x) = \frac{B}{A}\, \sqrt{ A^2 - x^2 }.\] Esta función está bien definida en el intervalo (-A, A), y hemos visto que en el punto con abscisa x=x₀ la recta tangente a la elipse tiene tangente m que cumple la ecuación \[x_0 = \frac{ - m\, A^2}{ \sqrt{ m^2\, A^2 + B^2}},\] de modo que despejando el valor de m tenemos \[ x_0^2\, (m^2\, A^2 + B^2) = m^2\, A^ 4,\, \text{ o sea } m^2\,(A^4 - x_0^2\, A^2)  =  x_0^2\, B^2,\] con esto tenemos que \[ m = \pm \frac{ x_ 0\, B}{A\,\sqrt{ A^2 - x_0^2 } }. \] El valor de m en términos de x₀ es justo la derivada de la fución f(x) = (B/A) √(A² - x²) evaluada en el punto x = x₀. De esta forma obtenemos \[ \frac{d\, f}{d\, x}(x_0) = - \frac{B}{A}\, \frac{ x_ 0}{\sqrt{ A^2 - x_0^2 } }. \] Hemos escogido el signo negativo porque hemos tomado la rama positiva de la elipse y como se ve en la gráfica de arriba, cuando x₀ es negativo la pendiente m de la tangente es positiva y viceversa.

Problemas sugeridos

  1. Dada la elipse \[ \left( \frac{x}{A} \right)^2+\left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1, \] encuentre el valor de la abscisa x₀ tal que la pendiente en el punto \[ \left( x_0, \frac{B}{A}\, \sqrt{ A^2 - x_0^2 } \right) \] de la elipse es exactamente de 45º.
  2. Para la misma elipse, encuentre el valor de la abscisa x₀ tal que la recta que pasa por el punto de la elipse \[ \left( x_0, \frac{B}{A}\, \sqrt{ A^2 - x_0^2 } \right) \] y que es perpendicular a la tangente en ese punto, también pasa por el origen de coordenadas que es en este caso el centro de la elipse.   

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