17ava entrada/Tangentes y asíntotas

La tangente a la hipérbola

Como en el caso de la elipse, vamos a considerar la hipérbola centrada en el origen en su forma estándar:\[ \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1, \] y la familia de rectas \[ y = m x + \beta, \text{ con } m \text{ fija y } \beta \text{ arbitraria.}\] El plan es investigar el comportamiento de la recta en función de β, para identificar los casos en los que esta intersecta a la hipérbola o no, y en el caso de intersección, encontrar las condiciones para que sea tangente (ver figura).


Para estudiar el tipo de intersecciones que tiene la recta con ordenada al origen igual a β con la hipérbola, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones \[ y=m x + \beta\, \text{ y }\,  \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1,\, \text{ de donde }\, \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1. \] Así, la o las abscisas de la intersección (si la hay) son los valores de x que resuelven la ecuación cuadrática \[ x^2\, \frac{B^2 - A^2 m^2}{A^2 B^2} - 2\, x\, \frac{m\, \beta}{B^2} - \frac{\beta^2 + B^2 }{B^2} = 0,\, \text{ o sea },\, (A^2 m^2- B^2) x^2 + 2\, x\, m\, \beta\, A^2 + ( \beta^2 + B^2)\, A^2 = 0.\] La solución a esta ecuación es: \begin{align*} x &= \frac{-2\, m\,\beta\, A^2 \pm \sqrt{4\, m^2\,\beta^2\,A^4 - 4\, (A^2 m^2 -B^2) ( \beta^2 + B^2)\, A^2}}{2\, (A^2 m^2 - B^2) } \\ & = \frac{-\, m\,\beta\, A^2 \pm A\,\sqrt{m^2\,\beta^2\,A^2 - (A^2 m^2 -B^2) ( \beta^2 + B^2 ) } }{A^2 m^2 - B^2} \\ & =  \frac{-\, m\,\beta\, A^2 \pm A\,B\,\sqrt{B^2 + \beta^2 - m^2\,A^2} }{A^2\, m^2-B^2}. \end{align*} Aquí aparece un caso interesante en donde la intersección que corresponde a cuando el denominador se anula, es decir, cuando \[A^2\, m^2 = B^2,\, \text{ es decir, }\, m=\pm \frac{B}{A}.\] en este caso la ecuación de la intersección se reduce a \[  2\, x\, m\, \beta+ ( \beta^2 + B^2) = 0, \, \text{ de modo que }\, x = -\frac{\beta^2+B^2}{2\,m\,\beta}, \] pero corresponde a un corte transversal entre la recta y la hipérbola, como se ve en la figura anterior, y no a una tangencia. Cuando \[ m = \pm \frac{B}{A}\, \text{ y }\, \beta = 0, \] tenemos rectas tangentes a la hipérbola, \[  y = \frac{B}{A} x\, \text{ y }\, y = -\frac{B}{A} x, \] pero cuyo punto de tangencia está en x = ± ∞, y = ± ∞. Estas rectas son las asíntotas a la hipérbola, una de las cuales se ilustra en la figura anterior. En el caso en que A² m² - B² ≠ 0 tenemos una tricotomía dependiendo del signo del discriminante. 
  1. Si  B² + 𝛽² < m² A², entonces no hay solución.
  2. Si  B² + 𝛽² = m² A², entonces hay una sola solución y la recta es tangente a la hipérbola.
  3. Si B² + 𝛽² > m² A², entonces hay una doble intersección, de modo que la recta es secante a la hipérbola. 

El caso que nos interesa es B² + 𝛽² = m² A², de modo que la relación entre la pendiente de la recta y la ordenada al origen es: \[\beta=\pm \sqrt{m^2\, A^2 - B^2 } = \pm A\,\sqrt{1 + m^2 - e^2}, \] donde e es la excentricidad de la hipérbola. Entonces, para que haya tangencia, además de que A² m² - B² ≠ 0 es necesario que \[ B^2 < m^2 A^2,\, \text{ o sea } \frac{B}{A} < |m|, \] de otra forma no habrá tangencia. En caso de haber tangencia, el punto de tangencia es \[ (x, y) = \pm \left(\frac{m\, A^2}{\sqrt{m^2\, A^2 - B^2}},  \frac{B^2}{\sqrt{m^2\,A^2-B^2}} \right). \] En conclusión, para que haya una recta tangente a la hipérbola con pendiente m, es necesario que |m| > B/A, es decir, que la pendiente sea mayor en valor absoluto que la pendiente de las asíntotas. Una vez que esta condición se cumple, hay dos rectas tangentes con pendiente m, que son: \[ y = m\,x \pm  \sqrt{m^2\, A^2 - B^2}. \] 

En la figura de arriba ilustramos una hipérbola, su hipérbola conjugada, las asíntotas comunes a ambas hipérbolas, y las dos rectas tangentes con pendiente m=1/2.

La hipérbola recta

La hipérbola recta corresponde a aquella que para los cuales los semi-ejes vertical y horizontal son iguales, de modo que sus asíntotas son las rectas y=x y y=-x.Entonces, las ecuaciones de esta hipérbola y su conjugada son \[x^2-y^2=1\,\text{ y }\, y^2- x^2=1.\] Esta hipérbola está relacionada con la función y=f(x)=1/(2x) de la manera siguiente. Utilicemos como ejes cartesianos las asíntotas y=x y y=-x en lugar de los ejes x y y. De acuerdo a lo que vimos en la entrada 11 del blog, la distancia de un punto (x,y) a la recta y = x es d₁=|x-y|/√2, mientras que su distancia a la recta y = -x es d₂=|x+y|/√2. Para tomar en cuenta el sentido y no solo la magnitud de estas distancias, usamos las coordenadas u=(y+x)//√2 y v=(y-x)/√2. En estas coordenadas la hiperbola recta tiene ecuación \[x^2-y^2 = 1,\, \text{ entonces } (x+y)(x-y)=\left(\sqrt{2}\,u\right)\left(-\sqrt{2}\,v\right)=1,\,\text{ de modo que } v=\frac{-1}{2u}.\] La hipérbola conjugada tendrá ecuación \[ v=\frac{1}{2u}.\] El cambio de coordenadas de (x,y) a (u,v) corresponde a hacer rotar los ejes cartesianos por un ángulo de 45º. Esto se ilustra en la figura siguiente.



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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