Trigonometría y Álgebra. Biofísica UASLP

La mitad del ángulo Vamos a repasar lo que vimos en la clase del 23 de septiembre. Empezamos con la figura de abajo.     La figura se obtiene trazando una media circunferencia sobre la horizontal. Escogemos un punto P en la media circunferencia y trazamos un radio que une el centro del circulo, que llamamos O,  con el punto P. También trazamos una secante que une el extremo opuesto del diámetro horizontal, que llamamos A en la figura, con el punto P. El radio OP forma un ángulo 𝛽 con el diámetro horizontal, mientras que la secante AP forma un ángulo 𝛼 con el mismo diámetro horizontal.    Proposición En la figura, 𝛼=𝛽/2.   Demostración Para demostrarlo tomamos en cuenta que el triángulo AOP es isósceles ya sus lados AO y OP son ambos radios del círculo y tienen por lo tanto longitud r. Entonces, los ángulos 𝛼 y 𝛾, adyacentes a estos lados, deben ser iguales, o sea, 𝛼=𝛾.  Como la suma de los ángulos interiores de este triángulo isósceles es 𝜋, ...

Resumen de las clase del jueves 17 y lunes 21 de septiembre Clase del 17 La altura de la gran pirámide Comenzamos con el experimento de Tales de Mileto para estimar la altura de la pirámide de Kéops, en Giza.   Figura tomada de Wikipedia   El principio sobre el que se basa el experimento y medición es el de la equivalencia de triángulos. Tenemos dos triángulos. Uno tiene como base la suma de la mitad de la base de pirámide mas su sombra, que da una longitud total C, y tiene altura desconocida D. El otro triángulo rectángulo está formado por una vara de altura A y su sombra de largo B. Como los rayos del sol son paralelos, los ángulos de los dos triángulos son iguales y por lo tanto los dos triángulos son similares.    ¿Qué significa que estos dos triángulos sean similares? Esto quiere decir que si amplificamos el triángulo pequeño usando un mismo factor en todas direcciones, entonces podemos obtener el triángulo grande. En términos algebraicos esto quiere decir ...

¿Qué son los ángulos, cómo se miden y cómo se suman?   Un ángulo es la apertura que forman dos rectas que se cruzan, como en la figura. Para medir un ángulo podemos usar el sistema sumerio-babilónico, que divide la apertura total del círculo en 360 partes iguales, que llamamos grados. Luego los grados se subdividen en 60 partes iguales que llamamos minutos y luego estos a su vez se dividen en 60 partes ibulaes que llamamos segundo. Los grados se denotan con el superíndice º, mientras que los minutos con apóstrofe ' y los segundos con el doble apostrofe ''. En el dibujo el ángulo de 43.56º es igual a 43º 33' 36''   Otra forma más moderna y razonable de medir ángulos consiste en usar un círculo con centro en la intersección de las dos rectas y medir la proporción entre el arco de círculo delimitado por las dos recta y el radio del círculo en cuestión.   La proporción 𝜃= ℓ / r así obtenida no depende de el radio r del circulo que hayamos trazado. Como el perímetr...

  El rectángulo autosimilar Un rectángulo de lados 1 y 1+ x, con  x >0 , es tal que el rectángulo inscrito (o sea, que está adentro del primero) de lados x y 1, es similar al rectángulo original. Encuentre el valor de x. Que los dos rectángulos sean similares quiere decir que la razón de sus lados es igual, es decir,  \[\frac{1+x}{1}=\frac{1}{x},\text{ o sea }\, x^2+x-1=0.\] Entonces tenemos dos posibilidades para x \[x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{5}-1}{2},\\ -\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{array}\right.\] De estas dos posibilidades solo la primera es aceptable ya que x es un número positivo. Este número es justamente el inverso de la razón dorada o razón áurea. La razón áurea es justamente  \[\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.61803398874989,\] y resulta que \[ \phi\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5-1}{4}=1.\]  En este cálculo hemos empleado la identidad algebraica  \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2, \text{ co...

Solución a los problemas de la tarea de repaso de álgebra   Problema 1. Resolver las siguientes ecuaciones: \[\sqrt{\sqrt{x+16}-\sqrt{x}}=1, \text{ y }\, \frac{4-x}{\sqrt{x^2-8x+32}}=\frac{2}{3}\]    Solución   Para la primera ecuación elevamos ambos lados al cuadrado y obtenemos \[ \sqrt{x+16}-\sqrt{x}=1, \text{ o sea }\, \sqrt{x+16}=1+\sqrt{x}. \] Elevando otra vez al cuadrado obtenemos \[x+16=1+2\sqrt{x}+x, \text{ o sea }\, 2\sqrt{x}=15, \text{ es decir }\, x=\left(\frac{15}{2}\right)^2. \] Para la segunda ecuación despejamos las fracciones y elevamos ambos lados al cuadrado, o sea \[ 3(4-x)=2\sqrt{x^2-8x+32}, \text{ o sea }\, 9(x^2-8x+16)=4(x^2-8x+32) \] lo que nos da finalmente la ecuación cuadrática \[5x^2-40x+16=0, \text{ que tiene soluciones }\, x=4\pm\frac{8}{\sqrt{5}}.\] De estas dos soluciones solo la de signo menos tiene sentido ya que necesitamos que \[4-x=\mp\frac{8}{\sqrt{5}} \text{ sea positivo.}\] Problema 2...

Bien venidos Soy Edgardo Ugalde y me toca revisar con ustedes algo de Álgebra, algo de Trigonometría y un poco de Geometría Analítica. Lo necesario para poder afrontar los cursos de matemáticas que vienen en sus siguientes semestres como los Cálculos y el Álgebra Lineal. Yo quiero aprovechar para mostrar las virtudes del enfoque matemático y motivar un poco el tema con notas históricas y aplicaciones prácticas. Ojalá salga bien. Sobre el contenido del curso En este curso nos interesaremos sobre todo en la Trigonometría y la Geometría Analítica.   Antes de comenzar el estudio de la Trigonometría haremos un repaso rápido de ecuaciones y desigualdades algebraicas y cómo se resuelve. Eso lo haremos la primer semana.   En Trigonometría nos vamos a enfocar en cosas como: Estimar distancias. En particular vamos a revisar los problemas clásicos de la estimación del perímetro de la Tierra (Heratóstenes) y de ahí calcular la distancia Tierra-Luna (Aristarco). Medir áreas de polígonos ar...