3a entrada/Fibonacci

 El rectángulo autosimilar

Un rectángulo de lados 1 y 1+x, con  x>0, es tal que el rectángulo inscrito (o sea, que está adentro del primero) de lados x y 1, es similar al rectángulo original. Encuentre el valor de x.


Que los dos rectángulos sean similares quiere decir que la razón de sus lados es igual, es decir, 
\[\frac{1+x}{1}=\frac{1}{x},\text{ o sea }\, x^2+x-1=0.\]
Entonces tenemos dos posibilidades para x \[x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{5}-1}{2},\\ -\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{array}\right.\] De estas dos posibilidades solo la primera es aceptable ya que x es un número positivo. Este número es justamente el inverso de la razón dorada o razón áurea. La razón áurea es justamente 
\[\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1.61803398874989,\] y resulta que \[ \phi\,x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\,\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{5-1}{4}=1.\] 
En este cálculo hemos empleado la identidad algebraica 
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2, \text{ con }\, a=\sqrt{5}\text{ y }\, b=1.\] 
Puesto que el rectángulo inscrito, el de lados 1 y x, es similar al original, entonces podemos volver a empezar tomándolo como punto de partida, obteniendo un rectangulito de lados 1-x y x, que es similar a los dos anteriores, y continuar hasta el infinito. Esta propiedad de autosimilaridad se aprovecha para dibujar la espiral de Fibonacci que pongo aquí abajo (tomado de Wikipedia).

La secuencia de Fibonnaci

Fibonacci (Leonardo de Pisa) fue un matemático y italiano del siglo XIII que introdujo la numeración indo-arábiga y escribió el primer libro de aritmética moderno, el Liber Abaci. En este libro, Fibonacci plantea el siguiente problema.
 
Comenzamos con una pareja de conejos jóvenes. Las parejas adultas se reproducen mientras que las parejas jóvenes se hacen adultas antes de poder reproducirse. La dinámica es como en el dibujo (tomado del blog de Sergio Pámies).

En el dibujo se ve como la población de conejos, compuesta por parejas adultas y parejas jóvenes, va creciendo a lo largo de las generaciones. Las reglas de la dinámica son las siguientes:

  1. Una pareja joven en la generación actual se vuelve adulta en la generación siguiente.
  2. Una pareja adulta de la generación actual da lugar a una pareja joven en la generación siguiente.
  3. Las parejas adulta pasan de una generación a la siguiente (sobreviven).

Ahora usemos la notación algebraica. Si llamamos A(n) al número de parejas adultas de la generación n y J(n) al número de parejas jóvenes de la generación n, entonces las reglas 1 y 3 nos permiten escribir una regla de recurrencia para el crecimiento de A(n) mientras que la regla 2 nos da el crecimiento de J(n) como sigue:  \[A(n+1)=A(n)+J(n), \] \[ J(n+1)=A(n).\] Como esto vale para todas las generaciones desde la generación 0, donde A(0)=0 y J(0)=1, entonces lael número total de parejas de conejos sigue la regla de recurrencia \begin{align*}T(n+1)&=J(n+1)+A(n+1)\\ &=A(n)+(A(n)+J(n))\\ &=(A(n-1)+J(n-1))+(A(n)+J(n))\\ &=T(n-1)+T(n),\end{align*} 

Decimos que la población total J(n) tiene un crecimiento exponencial si para generaciones suficientemente avanzadas (o sea, para n grande), podemos hacer la aproximación \[J(n)\approx C\, r^n,\] donde r será un número mayor que 1 (de otra forma no hay crecimiento) y C una constante positiva que sirve para ajustar el comportamiento para las primeras generaciones. El parámetro r es la tasa de crecimiento y nos dice cúantas conejos en la generación n+1 genera en promedio cada conejo de la generación n. Si la aproximación exponencial es válida, entonces ¿cúanto vale la tasa de crecimeinto en este caso? Veamos, puesto que 
\[T(n+1)=T(n)+T(n-1)\, \text{ o sea }\, \frac{T(n+1)}{T(n)}=1+\frac{T(n-1)}{T(n)}=1+1/\left(\frac{T(n)}{T(n-1)}\right)\text { y }\] 
\[T(n)\approx C\, r^n \text{ para toda } n \text{ suficientemente grande,}\] entonces\[\frac{C\,r^{n+1}}{C\, r^n}=1+1/\left(\frac{C\,r^n}{C\, r^{n-1}}\right),\text{ o sea } r=1+1/r.\] 
De modo que la tasa de crecimiento r es una de las raices de la ecuación cuadrática 
\[r^2=r+1, \text{ o sea }\, r^2-r-1=0.\] Esta ecuación tiene dos raices \[r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{5}}{2} > 0,\\ \frac{1-\sqrt{5}}{2}<0.\end{array}\right.\] 
Solo la primera raíz es aceptable ya que la segunda da un número negativo. Entonces el crecimiento exponencial en el problema de los conejos de Fibonacci tiene tasa de crimiento la razón áurea: 
\[r=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\] 
Podemos comparar el crecimiento exponencial 
\[T(n)\approx C\, \phi^n,\] 
con el crecimiento exacto, dado por la relación de recurrencia 
\[T(n+1)=T(n)+T(n-1), \, \text{ con }\, T(0)=T(1)=1.\] 
Usando una herramienta informática (yo uso el Octave), podemos estimar el cociente 
\[T(n)/\phi^n\text{ para } n \text{grande }.\] 
Enseguida muestro una gráfica del comportamiento de este cociente conforme aumentan las generaciones.

Como se ve, en la centésima generación, el cociente ya es casi constante y alcanza un valor aproximado de 0.894427190999913. Podemos afirmar que 
\[ T(n)\approx 0.894427190999913\times \phi^n, \text{ para todo } n \text{ suficientemente grande (tan grande como 20)}.\]


Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

2da entrada/Repaso de Álgebra

Solución a los problemas de la tarea de repaso de álgebra   Problema 1. Resolver las siguientes ecuaciones: \[\sqrt{\sqrt{x+16}-\sqrt{x}}=1, \text{ y }\, \frac{4-x}{\sqrt{x^2-8x+32}}=\frac{2}{3}\]    Solución   Para la primera ecuación elevamos ambos lados al cuadrado y obtenemos \[ \sqrt{x+16}-\sqrt{x}=1, \text{ o sea }\, \sqrt{x+16}=1+\sqrt{x}. \] Elevando otra vez al cuadrado obtenemos \[x+16=1+2\sqrt{x}+x, \text{ o sea }\, 2\sqrt{x}=15, \text{ es decir }\, x=\left(\frac{15}{2}\right)^2. \] Para la segunda ecuación despejamos las fracciones y elevamos ambos lados al cuadrado, o sea \[ 3(4-x)=2\sqrt{x^2-8x+32}, \text{ o sea }\, 9(x^2-8x+16)=4(x^2-8x+32) \] lo que nos da finalmente la ecuación cuadrática \[5x^2-40x+16=0, \text{ que tiene soluciones }\, x=4\pm\frac{8}{\sqrt{5}}.\] De estas dos soluciones solo la de signo menos tiene sentido ya que necesitamos que \[4-x=\mp\frac{8}{\sqrt{5}} \text{ sea positivo.}\] Problema 2...
Leer más

1a entrada/Plan del Curso

Bien venidos Soy Edgardo Ugalde y me toca revisar con ustedes algo de Álgebra, algo de Trigonometría y un poco de Geometría Analítica. Lo necesario para poder afrontar los cursos de matemáticas que vienen en sus siguientes semestres como los Cálculos y el Álgebra Lineal. Yo quiero aprovechar para mostrar las virtudes del enfoque matemático y motivar un poco el tema con notas históricas y aplicaciones prácticas. Ojalá salga bien. Sobre el contenido del curso En este curso nos interesaremos sobre todo en la Trigonometría y la Geometría Analítica.   Antes de comenzar el estudio de la Trigonometría haremos un repaso rápido de ecuaciones y desigualdades algebraicas y cómo se resuelve. Eso lo haremos la primer semana.   En Trigonometría nos vamos a enfocar en cosas como: Estimar distancias. En particular vamos a revisar los problemas clásicos de la estimación del perímetro de la Tierra (Heratóstenes) y de ahí calcular la distancia Tierra-Luna (Aristarco). Medir áreas de polígonos ar...
Leer más

9na entrada/Triangulación

Imagen
Supongamos que queremos medir la superficie de un terreno de forma poligonal como el que se muestra en la figura. La técnica para llevar esto acabo consisten en dividir el terreno en triángulos, lo que llamamos triangulación. La triangulación no es única, hay muchas maneras de triangular un terreno. Para el terreno de arriba un ejemplo es el siguiente. El área del terreno será la suma de las áreas de los triángulos que lo componen. En el caso de la figura habría que sumar las áreas de cinco triángulos. En el terreno, lo mas probable es que solo contemos con hilo para marcar la triangulación, y podríamos fácilmente medir la longitud de los lados de cada triángulo. El atrabajo de agrimensura (medición del terreno) se facilitaría mucho si contáramos con una regla que permita medir el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados. Esta regla nos la proporciona la fórmula de Herón de Alejandría. Considere el triángulo de la figura. La fórmula de Herón establece que la superf...
Leer más