4a entrada/Teorema de Pitágoras
¿Qué son los ángulos, cómo se miden y cómo se suman?
Un ángulo es la apertura que forman dos rectas que se cruzan, como en la figura. Para medir un ángulo podemos usar el sistema sumerio-babilónico, que divide la apertura total del círculo en 360 partes iguales, que llamamos grados. Luego los grados se subdividen en 60 partes iguales que llamamos minutos y luego estos a su vez se dividen en 60 partes ibulaes que llamamos segundo. Los grados se denotan con el superíndice º, mientras que los minutos con apóstrofe ' y los segundos con el doble apostrofe ''. En el dibujo el ángulo de 43.56º es igual a 43º 33' 36''
Otra forma más moderna y razonable de medir ángulos consiste en usar un círculo con centro en la intersección de las dos rectas y medir la proporción entre el arco de círculo delimitado por las dos recta y el radio del círculo en cuestión.
La proporción 𝜃= ℓ / r así obtenida no depende de el radio r del circulo que hayamos trazado. Como el perímetro del circulo de radio r es 2π r, entonces el ángulo de apertura total vale 2π. El águlo recto vale π. A la unidad de medida de ángulo la llamamos radián. Un radián corresponde a la apertura que determina un arco de la misma longitud que el radio y vale algo así como 57º17'44.8''.
Para sumar los ángulos que forman la intersección de la recta L₁ y L₂ con el ángulo que forma la intersección de la recta L₃ y L₄, hace falta yuxtaponer las aperturas trasladando y rotando las rectas L₃ y L₄ de modo que L₂ se empalme con L₃, haciendo coincidir las intersecciones. La suma de los ángulos es la apertura que forman la intersección de L₁ y L₄
Un resultado de la geometría euclidiana
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a ⲡ radianes. ¿Cómo se prueba este resultado? Primero examinemos el triángulo. Los ángulos interiores son los que llamamos 𝛼, 𝛽 y γ en la figura. Por el vértice B hacemos pasar una recta paralela a la base AC, y prolongamos las rectas CB y AB. Entonces al rededor del vértice B se forman los ángulos que llamamos 𝛼', 𝛽' y γ' respectivamente.
Los ángulos 𝛼 y 𝛼' son iguales debido a que "dadas dos rectas paralelas y una transversal que las atraviesa, los ángulos correspondientes son iguales". Lo mismo sucede con los ángulos γ y γ', que también son correspondientes. Los ángulos 𝛽 y 𝛽' son iguales ya que "los ángulos opuestos a la intersección de dos rectas son iguales". Como 𝛼'+𝛽'+γ' es media vuelta completa, entonces 𝛼'+𝛽'+γ'=π radianes (180º). Finalmente como 𝛼=𝛼', 𝛽=𝛽' y γ=γ', podemos concluir que \[\alpha+\beta+\gamma=\pi.\]Notemos que este resultado depende de tres afirmaciones:- Dada una recta y un punto fuera de ella, podemos trazar una y solo una paralela a esa recta que pase por dicho punto.
- Dadas dos rectas paralelas y una transversal que las atraviesa, los ángulos correspondientes son iguales.
- Los ángulos que se forman en los lados puestos de una intersección de dos rectas son iguales.
La primera afirmación es un axioma de la geometría y no se puede demostrar. Las otras dos afirmaciones son resultados que se pueden demostrar más o menos fácilmente.
Otro resultado de la geometría euclidiana
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.¿Cómo se prueba este resultado? Examinemos el triángulo rectángulo y sus partes. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (π/2 radianes) y dos ángulos más pequeños, ⍺ y 𝛽, que entre los dos suman π/2 radianes como se indica en la figura. El lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa, cuya longitud denotamos h. Los otros dos lados son los catetos sus longitudes son C₁ y C₂ respectivamente.
Trazamos una perpendicular al la hipotenusa que pase por su vértice opuesto, que en el dibujo se llama C. Esta perpendicular divide al triángulo rectángulo en dos tríángulos rectángulos más pequeños. El primero, que llamamos T₁, tiene lados de longitudes C₁, h-x e y, mientras que el segundo, que llamamos T₂, tiene lados de longitudes C₂, x e y. El triángulo original, que llamamos T, y los triángulos T₁ y T₂, son todos similares ya que sus ángulos interiores son iguales. Esto último es fácil de verificar ya que ⍺=π/2-𝛽, así que los tres triángulos tienen ángulos interiores ⍺, 𝛽 y π/2. Que dos triángulos sean similares implica que los cocientes de sus lados correspondientes son iguales, es decir,\begin{align*}\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \beta}&=\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}=\frac{C_2}{y}\\ \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{h}{C_2}=\frac{C_1}{y}=\frac{C_2}{x}\\ \frac{\text{cateto opuesto a }\, \beta}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{C_1}{C_2}=\frac{h-x}{y}=\frac{y}{x}.\end{align*} Usamos solamente las ecuaciones \[\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}\text{ y }\, \frac{h}{C_2}=\frac{C_2}{x.}\]
De
aquí se sigue que \[h(h-x)=C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2, \text{o sea }\,
h^2=hx+C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2,\] lo que finalmente nos da la
ecuación deseada, \[h^2=C_1^2+C_2^2.\] Esta última ecuación se lee así:
"el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los
catetos".
Un resultado de la geometría euclidiana
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a ⲡ radianes.¿Cómo se prueba este resultado? Primero examinemos el triángulo. Los ángulos interiores son los que llamamos 𝛼, 𝛽 y γ en la figura. Por el vértice B hacemos pasar una recta paralela a la base AC, y prolongamos las rectas CB y AB. Entonces al rededor del vértice B se forman los ángulos que llamamos 𝛼', 𝛽' y γ' respectivamente.
Los ángulos 𝛼 y 𝛼' son iguales debido a que "dadas dos rectas paralelas y una transversal que las atraviesa, los ángulos correspondientes son iguales". Lo mismo sucede con los ángulos γ y γ', que también son correspondientes. Los ángulos 𝛽 y 𝛽' son iguales ya que "los ángulos opuestos a la intersección de dos rectas son iguales". Como 𝛼'+𝛽'+γ' es media vuelta completa, entonces 𝛼'+𝛽'+γ'=π radianes (180º). Finalmente como 𝛼=𝛼', 𝛽=𝛽' y γ=γ', podemos concluir que \[\alpha+\beta+\gamma=\pi.\]
Notemos que este resultado depende de tres afirmaciones:
- Dada una recta y un punto fuera de ella, podemos trazar una y solo una paralela a esa recta que pase por dicho punto.
- Dadas dos rectas paralelas y una transversal que las atraviesa, los ángulos correspondientes son iguales.
- Los ángulos que se forman en los lados puestos de una intersección de dos rectas son iguales.
Otro resultado de la geometría euclidiana
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.¿Cómo se prueba este resultado? Examinemos el triángulo rectángulo y sus partes. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (π/2 radianes) y dos ángulos más pequeños, ⍺ y 𝛽, que entre los dos suman π/2 radianes como se indica en la figura. El lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa, cuya longitud denotamos h. Los otros dos lados son los catetos sus longitudes son C₁ y C₂ respectivamente.
Trazamos una perpendicular al la hipotenusa que pase por su vértice opuesto, que en el dibujo se llama C. Esta perpendicular divide al triángulo rectángulo en dos tríángulos rectángulos más pequeños. El primero, que llamamos T₁, tiene lados de longitudes C₁, h-x e y, mientras que el segundo, que llamamos T₂, tiene lados de longitudes C₂, x e y. El triángulo original, que llamamos T, y los triángulos T₁ y T₂, son todos similares ya que sus ángulos interiores son iguales. Esto último es fácil de verificar ya que ⍺=π/2-𝛽, así que los tres triángulos tienen ángulos interiores ⍺, 𝛽 y π/2. Que dos triángulos sean similares implica que los cocientes de sus lados correspondientes son iguales, es decir,\begin{align*}\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \beta}&=\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}=\frac{C_2}{y}\\ \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{h}{C_2}=\frac{C_1}{y}=\frac{C_2}{x}\\ \frac{\text{cateto opuesto a }\, \beta}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{C_1}{C_2}=\frac{h-x}{y}=\frac{y}{x}.\end{align*} Usamos solamente las ecuaciones \[\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}\text{ y }\, \frac{h}{C_2}=\frac{C_2}{x.}\]
De
aquí se sigue que \[h(h-x)=C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2, \text{o sea }\,
h^2=hx+C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2,\] lo que finalmente nos da la
ecuación deseada, \[h^2=C_1^2+C_2^2.\] Esta última ecuación se lee así:
"el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los
catetos".
Otro resultado de la geometría euclidiana
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.¿Cómo se prueba este resultado? Examinemos el triángulo rectángulo y sus partes. El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (π/2 radianes) y dos ángulos más pequeños, ⍺ y 𝛽, que entre los dos suman π/2 radianes como se indica en la figura. El lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa, cuya longitud denotamos h. Los otros dos lados son los catetos sus longitudes son C₁ y C₂ respectivamente.
Trazamos una perpendicular al la hipotenusa que pase por su vértice opuesto, que en el dibujo se llama C. Esta perpendicular divide al triángulo rectángulo en dos tríángulos rectángulos más pequeños. El primero, que llamamos T₁, tiene lados de longitudes C₁, h-x e y, mientras que el segundo, que llamamos T₂, tiene lados de longitudes C₂, x e y. El triángulo original, que llamamos T, y los triángulos T₁ y T₂, son todos similares ya que sus ángulos interiores son iguales. Esto último es fácil de verificar ya que ⍺=π/2-𝛽, así que los tres triángulos tienen ángulos interiores ⍺, 𝛽 y π/2. Que dos triángulos sean similares implica que los cocientes de sus lados correspondientes son iguales, es decir,
\begin{align*}\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \beta}&=\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}=\frac{C_2}{y}\\ \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{h}{C_2}=\frac{C_1}{y}=\frac{C_2}{x}\\ \frac{\text{cateto opuesto a }\, \beta}{\text{cateto opuesto a}\, \alpha}&=\frac{C_1}{C_2}=\frac{h-x}{y}=\frac{y}{x}.\end{align*}
Usamos solamente las ecuaciones
\[\frac{h}{C_1}=\frac{C_1}{h-x}\text{ y }\, \frac{h}{C_2}=\frac{C_2}{x.}\]
De
aquí se sigue que \[h(h-x)=C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2, \text{o sea }\,
h^2=hx+C_1^2 \text{ y }\, hx=C_2^2,\] lo que finalmente nos da la
ecuación deseada, \[h^2=C_1^2+C_2^2.\] Esta última ecuación se lee así:
"el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los
catetos".
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