6ta entrada/Mitad de ángulo

La mitad del ángulo


Vamos a repasar lo que vimos en la clase del 23 de septiembre. Empezamos con la figura de abajo.

 
 
La figura se obtiene trazando una media circunferencia sobre la horizontal. Escogemos un punto P en la media circunferencia y trazamos un radio que une el centro del circulo, que llamamos O,  con el punto P. También trazamos una secante que une el extremo opuesto del diámetro horizontal, que llamamos A en la figura, con el punto P. El radio OP forma un ángulo 𝛽 con el diámetro horizontal, mientras que la secante AP forma un ángulo 𝛼 con el mismo diámetro horizontal. 
 
Proposición
En la figura, 𝛼=𝛽/2.
 
Demostración
Para demostrarlo tomamos en cuenta que el triángulo AOP es isósceles ya sus lados AO y OP son ambos radios del círculo y tienen por lo tanto longitud r. Entonces, los ángulos 𝛼 y 𝛾, adyacentes a estos lados, deben ser iguales, o sea, 𝛼=𝛾. 
Como la suma de los ángulos interiores de este triángulo isósceles es 𝜋, entonces el ángulo 𝛿 que forman los radios AO y OP mide 𝜋-2𝛼, pero este mismo ángulo es lo que le falta al ángulo 𝛽 para sumar 𝜋, de modo que \[\pi-\beta=\pi-2\alpha,\,\text{ y por tanto }\, \beta=2\alpha.\]
Con esto queda demostrada la proposición.
 

Relación entre las funciones trigonométricas

El objetivo ahora es encontrar una expresión para las funciones trigonométricas seno y coseno del ángulo 𝛼(=𝛽/2) en términos de los valores de esas funciones trigonométricas en el ángulo 𝛽. Esto nos permitirá calcular valores de las funciones trigonométricas para ángulos cada vez más pequeños. 
 
Empecemos con el coseno. Notemos que en la figura \begin{align*}\cos(\alpha)&=\frac{r+OC}{S}=\frac{S/2}{r}\\ \cos(\beta)&=\frac{OC}{r}\end{align*}
De la segunda ecuación despejamos OC y lo substituimos en la primera. De esta forma obtenemos \[\cos(\alpha)=\frac{r+r\,\cos(\beta)}{S}.\] Para poder establecer una relación entre cos(𝛼) y cos(𝛽), necesitamos encontrar el valor de S en términos de esas cantidades. Para ello usamos la ecuación \[\cos(\alpha)=\frac{S/2}{r},\, \text{ de donde }\,S=2r\,\cos(\alpha).\] Así obtenemos una ecuación que relaciona cos(𝛼) y cos(𝛽) que es \[\cos(\alpha)=\frac{r+r\, \cos(\beta)}{2r\cos(\alpha).}\] A partir de esta ecuación obtenemos finalmente \[\cos^2(\alpha)=\frac{1+\cos(\beta)}{2},\,\text{ o sea }\, \cos(\beta/2)=\sqrt{\frac{1+\cos(\beta)}{2}}.\] 

Ahora vamos con el seno. Notemos en la figura que \begin{align*}{\rm sen}(\alpha)&=\frac{h}{S}=\frac{OB}{r}\\ {\rm sen}(\beta)&=\frac{h}{r}\end{align*} De la segunda ecuación despejamos h y lo substituimos en la primera. De esta forma obtenemos \[{\rm sen}(\alpha)=\frac{r\,{\rm sen}(\beta)}{S}.\] Para poder encontrar el valor de sen(𝛼) en términos de los valores de sen(𝛽) y cos(𝛽), necesitamos encontrar el valor de S en términos de estas dos últimas cantidades. Este valor ya lo habíamos encontrado y resultó ser \[S=2r\cos(\alpha)=2r\,\cos(\beta/2)=2r\,\sqrt{\frac{1+\cos(\beta)}{2}}=r\,\sqrt{2(1+\cos(\beta))}.\] Con esto obtemos una ecuación que relaciona sen(𝛼) con  sen(𝛽) y cos(𝛽), que es \[{\rm sen}(\alpha)=\frac{r\, {\rm sen}(\beta)}{r\sqrt{2(1+\cos(\beta))}}\] A partir de esta ecuación obtenemos finalmente \[{\rm sen}(\beta/2)=\frac{{\rm sen}(\beta)}{\sqrt{2(1+\cos(\beta))}}.\]
 
A partir de las dos relaciones \begin{align*} \cos(\beta/2)&=\sqrt{\frac{1+\cos(\beta)}{2}}\\ {\rm sen}(\beta/2)&=\frac{{\rm sen}(\beta)}{\sqrt{2(1+\cos(\beta))}}\end{align*} deducimos que \[\tan(\beta/2)=\frac{{\rm sen}(\beta)}{1+\cos(\beta)}=\frac{\tan(\beta)}{1+\sec(\beta)},\] y con esto tenemos las funciones trigonométricas para la mitad de un ángulo dado.

Aplicaciones

Las ecuaciones  \begin{align*} \cos(\beta/2)&=\sqrt{\frac{1+\cos(\beta)}{2}}\\ {\rm sen}(\beta/2)&=\frac{1+{\rm sen}(\beta)}{\sqrt{2(1+\cos(\beta))}}\end{align*} también sirven para calcular las funciones trigonométricas del doble de un ángulo dado. Como 𝛽=2𝛼, entonces la primera de estas ecuaciones puede escribirse como \[ \cos(\alpha)=\sqrt{\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}},\,\text{ es decir, } \cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1.\] Como cos²(𝛼)+sen²(𝛼)=1, se sigue que \[ \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-{\rm sen}^2(\alpha).\]
Por otro lado, la segunda ecuación es equivalente a \[{\rm sen}(\alpha)=\frac{{\rm sen}(2\alpha)}{\sqrt{2(1+\cos(\beta))}}=\frac{{\rm sen}(2\alpha)/2}{\sqrt{(1+\cos(2\alpha))/2}}=\frac{{\rm sen}(2\alpha)/2}{\cos(\alpha)}.\] De aquí se sigue que \[{\rm sen}(2\alpha)=2\,{\rm sen}(\alpha)\,\cos(\alpha).\] De esta forma obtenemos las ecuaciones para las funciones trigonométricas del doble de un ángulo dado: \begin{align*}\cos(2\alpha)&=\cos^2(\alpha)-{\rm sen}^2(\alpha),\\ {\rm sen}(2\alpha)&=2\,{\rm sen}(\alpha)\,\cos(\alpha), \\ \tan(2\alpha)&=2\frac{{\rm sen}(\alpha)\,\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)-{\rm sen}^2(\alpha)}=\frac{2}{\cot(\alpha)-\tan(\alpha)}.\end{align*}
 
Las fórmulas para las funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo dado nos permiten también calcular los valores de las funciones trigonométricas para ángulos muy pequeños a partir de ángulos conocidos. Sabemos que \[\cos(\pi/4)={\rm sen}(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}.\] A partir de aquí podemos calcular \begin{align*}\cos(\pi/8)&=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}/2}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ \cos(\pi/16)&=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/8)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}.\end{align*}
Podemos adivinar un patrón: \[\cos(\pi/2^n)=\frac{1}{2}\underbrace{{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}}_\text{$n-1$ veces}.\]
Para el sen(𝜋/2ⁿ) podemos simplemente usar la relación entre seno y coseno y tenemos \[{\rm sen}(\pi/2^n)=\sqrt{1-\frac{1}{4}\left(2+\underbrace{\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}} }_\text{$n-2$ veces}\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}} }_\text{$n-2$ veces}}.\]

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