5ta entrada/Pirámide y Estrella

Resumen de las clase del jueves 17 y lunes 21 de septiembre

Clase del 17

La altura de la gran pirámide

Comenzamos con el experimento de Tales de Mileto para estimar la altura de la pirámide de Kéops, en Giza.  
Figura tomada de Wikipedia
 
El principio sobre el que se basa el experimento y medición es el de la equivalencia de triángulos. Tenemos dos triángulos. Uno tiene como base la suma de la mitad de la base de pirámide mas su sombra, que da una longitud total C, y tiene altura desconocida D. El otro triángulo rectángulo está formado por una vara de altura A y su sombra de largo B. Como los rayos del sol son paralelos, los ángulos de los dos triángulos son iguales y por lo tanto los dos triángulos son similares. 
 
¿Qué significa que estos dos triángulos sean similares? Esto quiere decir que si amplificamos el triángulo pequeño usando un mismo factor en todas direcciones, entonces podemos obtener el triángulo grande. En términos algebraicos esto quiere decir que existe una constante 𝜆>1 tal que 
\[C=\lambda\, B \text{ y }\, D=\lambda A.\]
De aquí concluimos que 
\[\lambda=\frac{C}{B}\, \text{ y por tanto }\, D=\frac{C}{B}A.\]
Tales pudo fácilmente medir tanto A como B, así como la longitud C, que es la suma de la sombra de la pirámide mas la mitad de la base de la misma. Así Tales de Mileto fue capaz de medir la altura de la gran pirámide. 

Funciones trigonométricas

El experimento de Tales nos muestra que triángulos similares definen relaciones (cocientes entre sus lados) que solo dependen del ángulo. Para ser más claros consideremos el ángulo formado por la intersección de dos rectas. Esta intersección contiene una infinidad de triángulos similares, como se indica en la figura.


Los triángulos ADI, AEH, AFG y ACB, son todos similares ya que tienen los mismos ángulos: 𝛼, 𝜋/2 y 𝜋/2-𝛼. Entonces, los cocientes de los lados correspondientes son todos iguales y obtenemos, \begin{align*} \frac{DI}{AI}&=\frac{EH}{AH}=\frac{FG}{AG}=\frac{CB}{AB},\\ \frac{AD}{IA} &=\frac{AE}{AH}=\frac{AF}{AG}=\frac{AC}{AB},\\ \frac{DI}{AD} &=\frac{EH}{AE}=\frac{FG}{AF}=\frac{CB}{AC}.\end{align*} 
El hecho de que estos cocientes no dependan más que del ángulo y no de las longitudes de los lados, nos permite definir tres cantidades que son funciones de estos cocientes: 
\[{\rm sen}(\alpha)=\frac{CB}{AB},\ \, \cos(\alpha)=\frac{AC}{AB},\ \text{ y }\, \tan(\alpha)=\frac{CB}{AB}\]
Tomemos un triángulo rectángulo arbitrario como el de la figura.
Respecto al ángulo de referencia 𝛼 podemos distinguir un cateto opuesto C₂, un cateto adyacente C₁ y la hipotenusa. Las funciones trigonométricas básicas para el ángulo 𝛼 son entonces: 
\[{\rm sen}(\alpha)=\frac{C_2}{h},\ \, \cos(\alpha)=\frac{C_1}{h},\ \text{ y }\, \tan(\alpha)=\frac{C_2}{C_1}.\]
 
Podemos analizar la forma en que varían estas funciones conforme variamos el ángulo 𝛼, utilizando como referencia el circulo de radio 1 y los triángulos rectángulos que se forman cuando variamos la apertura de un radio respecto a la horizontal.
Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, para los ángulos 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son como sigue: \begin{align*}{\rm sen}(\alpha)&=EB,\, \cos(\alpha)=AE,\text{ y }\, \tan(\alpha)=\frac{EB}{AE}\\ {\rm sen}(\beta)&=DC,\, \cos(\beta)=AD,\text{ y }\, \tan(\beta)=\frac{DE}{AD}\\ {\rm sen}(\gamma)&=GF,\, \cos(\gamma)=AG,\text{ y }\, \tan(\gamma)=\frac{GF}{AG}.\end{align*}
Nótese que para ángulos entre 0 y 𝜋/2, como 𝛼 y 𝛽, mientras el ángulo aumenta, el seno aumenta y el coseno disminuye. En 0 radianes el coseno vale 1 mientras que el seno vale 0 y en 𝜋/2 radianes la situación se invierte y el coseno vale 1 y el seno 0. La tangente en 0 radianes vale cero, pero conforme aumenta el ángulo la tangente aumenta sin límite y tiende a infinito cuando el ángulo se acerca a 𝜋/2. En la siguiente figura vemos cómo cambian estas funciones en el rango de -𝜋/2 a 𝜋/2. 
Las tres funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente, son periódicas de periodo 2𝜋, esto quiere decir que 
\[{\rm sen}(\alpha+2\pi)={\rm sen}(\alpha),\, \cos(\alpha+2\pi)=\cos(\alpha)\,\text{ y }\, \tan(\alpha+2\pi)=\tan(\alpha).\]
Además las funciones seno y coseno se relacionan de estas dos maneras, \begin{align*} {\rm sen}(\alpha)&=\cos(\pi/2-\alpha)=\cos(\alpha-\pi/2) \\  {\rm sen}(\alpha)&=\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}. \end{align*} 
La primera relación proviene de que el coseno de un ángulo es el seno de su ángulo complementario (respecto a 𝜋/2) y de que cos(-𝛼)=cos(𝛼) para cualquier ángulo 𝛼. La segunda relación se deriva directamente del teorema de Pitágoras. La función tangente tiene período más pequeño que seno y coseno, de hecho \[\tan(\alpha+\pi)=\frac{{\rm sen}(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)}=\frac{-{\rm sen}(\alpha)}{-\cos(\alpha)}=\frac{{\rm sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha),\] 
de modo que la tangente es periódica de periodo 𝜋.
 

Clase del 21 

Paralaje

La técnica del paralaje permite estimar la distancia de un objeto al cambiar la perspectiva desde la cual lo observamos. Al cambiar de perspectiva, el objeto parece desplazarse con respecto al fondo fijo de objetos muy lejanos. Esta técnica se aplica en particular para estimar la distancia de estrellas relativamente cercanas las cuales, al observarlas desde dos perspectivas diferentes, aparenta desplazarse respecto al fondo fijo de estrellas lejanas.

  Figura tomada de Wikipedia

El desplazamiento aparente de la estrella respecto al fondo fijo, cuando es medido en radianes, es llamdo paralaje. Para estimar la distancia a una estrella hacemos dos mediciones a seis meses de distancia, de modo que la distancia entre el punto de observación A y B sea de dos radios de órbita terrestre. Como se ve en la figura, la distancia del sol a la estrella está dada por 
\[d=\frac{d}{\tan(P)},\]
donde P es el ángulo de paralaje correspondiente al desplazamiento aparente de la estrella respecto al fondo de estrella fijas. Como P es muy pequeño, entonces tan(P) es muy similar a P medido en radianes (esto no funciona si medimos los ángulos en grados).
Con la aproximación tan(P)≈P, que vale solo para P cercano a 0 y medido en radianes, podemos estimar la distancia a una estrella sin necesidad de conocer el valor de tan(P). Resulta que d≈r/P, y como r=1UA (una unidad astronómica), entonces d≈1/P en unidades astronómicas.

Altura de un edificio

En la segunda parte de la clase nos preocupamos por medir la altura de un edificio utilizando primero un punto de observación O₁, el ángulo 𝛽 que forma la recta que une a este punto de observación con la cima del edificio, y la distancia D del punto de observación al pie del edificio.



Puesto que 
\[\tan(\beta)=\frac{H}{D}, \text{ entonces }\, H=D\tan(\beta),\] 
entonces, conociendo la distancia D del observador al pie del edificio y el ángulo 𝛽 que forma la linea entre el observador y la cima del edificio con la horizontal, podemos calcular la altura H.
Es posible que el observador no pueda medir la distancia D, por ejemplo si es muy grande o si hay obstaculos que le impidan recorrer desde el punto de observación hasta la base del edificio. En ese caso conviene medir el ángulo a la cima del edificio desde dos puntos de observación O₁ y O₂ separados por una distancia ℓ que se pueda medir fácilmente. En este caso desconocemos D y por tanto desconocemos x=D-ℓ, que es la distancia desde el punto de observación O₂ hasta la base del edificio. Por lo tanto tenemos dos incógnitas, la altura H y la distancia x. Para encontrarlas usamos las dos ecuaciones dadas por las tangentes de los ángulos de observación:
\[\tan(\alpha)=\frac{H}{x}\,\ \text{ y }\, \tan(\beta)=\frac{H}{x+\ell}.\]
Recordemos que x=D-ℓ. Despejando x en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda obtenemos:
\[x=\frac{H}{\tan(\alpha)},\,\text{ y como }\,  \tan(\beta)=\frac{H}{x+\ell},\, \text{ entonces }\, \left(x+\ell\right)\tan(\beta)=\left(\frac{H}{\tan(\alpha)}+\ell\right)\tan(\beta)=H.\]
Finalmente obtenemos una ecuación para H que podemos resolver, 
\[H\left(1-\frac{\tan(\beta)}{\tan(\alpha)}\right)=\ell\tan(\beta),\, \text{ lo que da }\,  H=\frac{\ell\tan(\alpha)\tan(\beta)}{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}.\]

Ángulos especiales

Además de los ángulos múltiplos enteros de 𝜋/2 para los cuales es fácil calcular el valor de las funciones trigonométricas, existen otros tres ángulos para los cuales podemos fácilmente calcular estos valores: 𝜋/6, 𝜋/4 y 𝜋/3. Consideremos primero el triángulo equilátero de lados de longitud 1.
Este triángulo se divide en dos triángulos rectángulos de lados 1, 1/2 y x. El teoréma de Pitágoras nos permite calcular la altura x. Tenemos que \[x²+\left(\frac{1}{2}\right)^2=1,\, \text{ de modo que }\, x=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] 
Los tres ángulos interiores del triángulo equilátero miden lo mismo y como la suma es 𝜋, entonces cada uno de los ángulos interiores del triángulo equilátero mide 𝜋/3. En la figura, los ángulos 𝛼 y 𝛾 miden 𝜋/3, mientras que el ángulo 𝛿 mide 𝜋/6. Como conocemos las longitudes de los catetos y de la hipotenusa del triángulo con ángulos interiores 𝛼, 𝛿 y 𝜋/2, podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas. De esta manera obtenemos \begin{align*} {\rm sen}(𝜋/3)&=\frac{x}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(𝜋/6), \\ {\rm sen}(𝜋/6)&=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}=\cos(𝜋/3), \\  \tan(𝜋/3)&=\frac{x}{1/2}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3},\\ \tan(𝜋/6)&=\frac{1/2}{x}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{align*} 
Las escuadras de los juegos de geometría son similares al triángulo con ángulos interiores 𝜋/6, 𝜋/3 y 𝜋/2. Se puede hacer el experimento de medir la altura de un edificio utilizando esta escuadra, con sus dos ángulos como mirilla. El esquema es similar al de la figura previa a la anterior, escogiendo los puntos de observación O₁ y O₂ de modo que los ángulos 𝛼 y 𝛽 midan 𝜋/3 y 𝜋/6 respectivamente. Si ℓ es la distancia entre los dos puntos de observación, entonces la altura del edificio estará dada por la fórmula 
\[H=\frac{\ell\tan(\pi/3)\tan(\pi/6)}{\tan(\pi/3)-\tan(\pi/6)}=\frac{\ell}{\sqrt{3}-1/\sqrt{3}}=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}.\]
 
El otro triángulo especial se obtiene del triángulo que forma la diagonal y dos lados del cuadrado unitario.
 
El triángulo inferior (similar al superior) tiene lados 1, 1 y ⎷2, y ángulos interiores 𝜋/2, 𝜋/4 y 𝜋/4. Conociendo todo esto podemos calcular las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜋/4. Obtenemos lo siguiente: \begin{align*}{\rm sen}(𝜋/4)&=\cos(𝜋/4)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \tan(𝜋/4)&=\frac{1}{1}=1. \end{align*} 
Hasta el momento hemos podido compilar la siguiente tabla de valores para las funciones trigonométricas: \[\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline & {\rm sen}& \cos & \tan\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0\\ \hline \pi/6 & 1/2 & \sqrt{3}/2 & \sqrt{3}/3\\ \hline \pi/4 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 1\\ \hline \pi/3 & \sqrt{3}/2 & 1/2 & \sqrt{3}\\\hline  \pi/2 & 1 & 0 & \infty\\ \hline \end{array}\]

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