Trigonometría y Álgebra. Biofísica UASLP

La tangente a la hipérbola Como en el caso de la elipse, vamos a considerar la hipérbola centrada en el origen en su forma estándar:\[ \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1, \] y la familia de rectas \[ y = m x + \beta, \text{ con } m \text{ fija y } \beta \text{ arbitraria.}\] El plan es investigar el comportamiento de la recta en función de β, para identificar los casos en los que esta intersecta a la hipérbola o no, y en el caso de intersección, encontrar las condiciones para que sea tangente (ver figura). Para estudiar el tipo de intersecciones que tiene la recta con ordenada al origen igual a β con la hipérbola, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones \[ y=m x + \beta\, \text{ y }\,  \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1,\, \text{ de donde }\, \left( \frac{x}{A} \right)^2 - \left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1. \] Así, la o las abscisas de la intersección (si la hay) son los valores de x que resuelven la...

La hipérbola Igual que en el caso de la elipse, para la hipérbola hay tres posibles definiciones que son análogas a las tres definiciones de la elipse. De aquí en adelante el discurso será entonces análogo al de la 14ava entrada del blog.  La primera definición de la hipérbola dice lo siguiente: Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante mayor que uno . Esta constante es llamada excentricidad. Nótese que en este caso la definición es exactamente igual que para la elipse, con la diferencia que en este caso la excentricidad es mayor que uno. Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la hipérbola si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (1,∞) . Como ya vimos, el caso ...

La tangente a la elipse Tomemos una elipse centrada en el origen en su forma estándar:\[ \left( \frac{x}{A} \right)^2+\left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1. \] Consideremos ahora la familia de rectas \[ y = m x + \beta, \text{ con } m \text{ fija y } \beta \text{ arbitraria.}\] Como hemos hecho en otras ocasiones, vamos a buscar el valor de β tal que la recta en cuestión es tangente a la elipse (ver figura). Para encontrar el valor de β para el cual la recta es tangente a la elipse, encontramos las condiciones para que la intersección de la recta y la elipse se dé en un solo punto. Así tenemos, \[ \text{ si} y=m x + \beta\, \text{ y }\,  \left( \frac{x}{A} \right)^2 + \left( \frac{y}{B} \right)^2 = 1,\, \text{ entonces }\, \left( \frac{x}{A} \right)^2 +\left( \frac{m x + \beta}{B} \right)^2 = 1. \] Así, la o las abscisas de la intersección son los valores de x que resuelven la ecuación cuadrática \[ x^2\, \frac{B^2 + A^2 m^2}{A^2 B^2} + 2\, x\, \frac{m\, \beta}{B^2} + \frac{\beta^2 - B...

La elipse Hay tres maneras de definir la elipse. La primera, que se parece a la definición que vimos para la parábola, dice lo siguiente: Dados un punto llamado foco y una recta llamada directriz, la elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que el cociente de su distancia al foco entre su distancia a la directriz es una constante menor que uno. Esta constante es llamada excentricidad.  Para hacer más clara esta definición, digamos que F es el foco y que D es la directriz. Entonces un punto P pertenece a la elipse si y solo si \[{\rm dist}(F,P)=e\,{\rm dist}(P,D).\] Aquí e es la excentricidad y es una constante en el intervalo (0,1). El caso e = 1 corresponde a la parábola como ya vimos.  Supongamos que la directriz es vertical y tiene ecuación x = α y que el foco tiene coordenadas (f,0). Entonces un punto (x,y) pertenece a la elipse si y solo si \[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=e\, |x - \alpha|\] Notemos que la curva descrita por esta ecuación tiene las siguientes simetrías...