Trigonometría y Álgebra. Biofísica UASLP

La antena parabólica Las antenas parabólicas tienen una sección transversal en forma de parábola que al girar al rededor del eje del la parábola forma la superficie de la antena. La cara interior de la antena refleja la radiación que llega a la antena en rayos paralelos al eje de la antena como se ve en la figura. Nuestro objetivo es demostrar que todos los rayos que inciden en la antena siguiendo la dirección del eje de la parábola se reflejan en dirección al foco, de modo que la antena concentra todos los rayos en el foco. Para probar esto debemos tomar en cuenta las leyes de reflexión que dicen que el ángulo de incidencia respecto a la recta tangente es igual al ángulo de reflexión respecto a la misma recta. Entonces debemos probar que el ángulo entre el rayo vertical que incide en el punto C y la tangente a la parábola que pasa por el punto C, es igual al ángulo entre la recta que contiene a C y al foco y la tangente a la parábola que pasa por el punto C. Para simplificar los cálcu...

La parábola En la geometría clásica la parábola puede definirse como una sección cónica, es decir, una de las posibles curvas que se obtienen al intersecar un cono con un plano. También puede definirse de manera similar al círculo, a partir de la distancia de sus puntos a otros objetos geométricos. La segunda opción es la que vamos a tomar. Según esta segunda opción, la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto específico llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz. Entonces, si al foco lo llamamos f y a la directriz la llamamos D, entonces el punto P=(x,y) estará en la parábola si y solo si \[{\rm dist}(P,f)={\rm dits}(P,D).\] Ahora ya conocemos las fórmulas para calcular la distancia de un punto a otro y de un punto a una recta. Digamos que f=(a,b) y que la directriz D tiene ecuación y=mx+β , entonces P=(x,y) está en la parábola si y solo si \[\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\frac{|mx+\beta-y|}{\sqrt{m^2+1}}.\] Si eleva...

Ortogonalidad Pretendemos demostrar que la tangente a un circulo es perpendicular a radio que pasa por el punto de tangencia. Para poder probarlo necesitamos primero establecer un relación entre la pendiente de una recta y la pendiente de una perpendicular a esa recta.  Tomemos una recta cualquiera de pendiente m y una perpendicular a ella, como se indica en la figura. Las rectas tiene entonces ecuaciones \[y=mx+\beta \text{ y } y=\bar{m}x+\delta.\] La perpendicularidad o no de esas rectas depende solo de sus pendientes, mientras que sus ordenadas al origen determinan el punto donde las rectas se intersecan. Notemos que \[m=tan(\alpha) \text{ y por lo tanto } \bar{m}=tan(\alpha+\pi/2).\] Desarrollando obtenemos \begin{align*}\bar{m}&=\frac{{\rm sen}(\alpha+\pi/2)}{\cos(\alpha+\pi/2)}=\frac{{\rm sen}(\alpha)\cos(\pi/2)+\cos(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}{\cos(\alpha)\cos(\pi/2)-{\rm sen}(\alpha){\rm sen}(\pi/2)}\\ &=\frac{\cos(\alpha)}{-{\rm sen}(\alpha)}=-\frac{1}{{\rm sen}(\alp...

Pappus y Descartes Ahora comenzamos la unidad dedicada a la geometría analítica. Como vimos en clase, la geometría analítica que estudiamos en este curso es una disciplina que se ocupa de los problemas de la geometría clásica utilizando métodos algebraicos. Esta disciplina comenzó con René Descartes, con su libro llamado La Géometrie , que data de 1637. Uno de los problemas que motivó a Descartes fue planteado por Pappus que Descartes trata en la primera y segunda parte de su tratado. El problema de Pappus es un problema clásico de la matemática alejandrina (de la que ya discutimos mucho en la parte de trigonometría de este curso). Pappus fue profesor en la famosa biblioteca de Alejandría y al rededor del año 340 D.C.escribió un tratado llamado Synagoge , también conocido como Colección Matemática. En este tratado, Pappus comenta los trabajos de muchos matemáticos anteriores a él, entre los cuales Euclides y Ptolomeo. En ese libro Pappus se interesa en diversos problemas geométricos y...