7ma entrada/Suma de ángulos

Suma de ángulos


En las últimas dos clases dedujimos fórmulas que relacionan las funciones trigonométricas de dos ángulos dados 𝛽 y 𝛾, con las funciones trigonométricas de su suma 𝛼=𝛽+𝛾. El problema es entonces: encontrar expresiones para sen(𝛼) y cos(𝛼) en función de sen(𝛽), cos(𝛽), sen(𝛾) y cos(𝛾). 
 
Necesitamos hacer una construcción geométrica para la suma de dos ángulos. Para empezar vamos a suponer que ambos ángulos 0 ≦ 𝛽  y 0 ≦ 𝛾 son pequeños, de modo que 𝛼=𝛽+𝛾 ≦ 𝜋/2. Trazamos la horizontal y en el origen de coordenadas trazamos otra recta que pase por ahí y que forme un ángulo igual a 𝛽 con la horizontal. Luego subimos por esa recta y en uno de sus puntos trazamos una tercera recta que forme un ángulo 𝛾 con la anterior. La tercer recta se cortará con la horizontal y así tendremos un triángulo como en la figura.
 
 



El ángulo que forma segunda recta que trazamos con la horizontal es justamente la suma de los dos primeros ángulos que usamos, es decir, 𝛼=𝛽+𝛾. Esto es fácil de comprobar tomando en cuenta que 𝛽 y 𝛾 son los valores de dos de los ángulos internos del triángulos que hemos trazado, de modo que el tercer ángulo vale 𝜋-(𝛽+𝛾) y por lo tanto su complemento, que está al exterior de triángulo, vale 𝛽+𝛾.
 
Ahora plantearemos las relaciones entre sen(𝛼) y las cuatro conocidas que son sen(𝛽), cos(𝛽), sen(𝛾) y cos(𝛾). Después haremos lo mismo para cos(𝛼). Para ello conviene comenzar escribiendo todas estas funciones trigonométricas como cocientes de lados. Tenemos entonces las siguientes ecuaciones: \begin{align*} {\rm sen}(\alpha)=\frac{C}{h}, \,\, {\rm sen}(\beta)&=\frac{l}{L_1}=\frac{C}{H}, \,\, {\rm sen}(\gamma)=\frac{l}{h} \\ \cos(\alpha)=\frac{L_2}{h}, \,\, \cos(\beta)&=\frac{H_1}{L_1}=\frac{L}{H}, \,\, \cos(\gamma)=\frac{H_2}{h}\end{align*}
Para calcular sen(𝛼) en función de sen(𝛽), cos(𝛽), sen(𝛾) y cos(𝛾) vamos a ir remplazando las longitudes de los lados por los valores de las funciones trigonométricas. Tenemos entonces \begin{align*}{\rm sen}(\alpha)=\frac{C}{h}&=\frac{{\rm sen}(\beta)\, H}{h}\hskip 130pt\text{ Sustituyendo } C={\rm sen}(\beta)\, H.\\&=\frac{{\rm sen}(\beta)\, (H_1+H_2)}{h}\hskip 90pt \text{ Usando } H=H_1+H_2.\\ &=\frac{{\rm sen}(\beta)\, H_1}{h}+\frac{{\rm sen}(\beta)\,H_2}{h}\hskip 70pt \text{ Distribuyendo sobre la suma.}\\ &= {\rm sen}(\beta)\,\frac{H_1}{h}+{\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)\hskip 65pt \text{ Sustituyendo } \frac{H_2}{h}=\cos(\gamma).\\ &= {\rm sen}(\beta)\,\frac{L_1\,\cos(\beta)}{h}+{\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)\hskip 40pt\text{ Sustituyendo }H_1=L_1\cos(\beta).\\ &= {\rm sen}(\beta)\,\frac{l}{{\rm sen}(\beta)}\frac{\cos(\beta)}{h}+{\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)\hskip 20pt \text{ Sustituyendo } L_1=\frac{l}{{\rm sen}(\beta)}.\\ &=\cos(\beta)\,{\rm sen}(\gamma)+{\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)\hskip 10pt\text{Simplificando } {\rm sen}(\beta) \text{ y sustituyendo } \frac{l}{h}={\rm sen}(\gamma).\end{align*} Con todo esto obtenemos finalmente la relación buscada: \[{\rm sen}(\beta+\gamma)={\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)+\cos(\beta)\,{\rm sen}(\gamma).\]
Y para el coseno hacemos lo siguiente:
\begin{align*}\cos(\alpha)=\frac{L_2}{h}&=\frac{L-L_1}{h}\hskip 130pt\text{ Sustituyendo } L_2=L-L_1.\\&=\frac{H\,\cos(\beta)-L_1}{h}\hskip 100pt \text{ Usando } L=H\,\cos(\beta).\\ &=\frac{\cos(\beta)\,(H_1+H_2)-L_1}{h}+\hskip 60pt \text{Substituyendo } H=H_1+H_2\\ &= \cos(\beta)\,\frac{H_1}{h}+\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-\frac{L_1}{h}\hskip 30pt \text{ Sustituyendo } \frac{H_2}{h}=\cos(\gamma).\\ &= \frac{L_1\,\cos^2(\beta)}{h}+\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-\frac{L_1}{h}\hskip 30pt\text{ Sustituyendo }H_1=L_1\cos(\beta).\\ &= \cos(\beta)\,\cos(\gamma)-\frac{L_1}{h}(1-\cos^2(\beta))\hskip 40pt \text{ Reagrupado}.\\ &= \cos(\beta)\,\cos(\gamma)-\frac{L_1}{h}\,{\rm sen}^2(\beta)\hskip 30pt\text{ Sustituyendo } {\rm sen}^2(\beta)=1-\cos^2(\beta).\\ &=\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-\frac{l}{h\,{\rm sen}(\beta)}\,{\rm sen}^2(\beta)\hskip 30pt\text{ Sustituyendo } L_1=\frac{l}{{\rm sen}(\beta)}.\\ &=\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\gamma)\hskip 20pt\text{ Simplificando y sustituyendo }{\rm sen}(\gamma)=\frac{l}{h}.\end{align*} Con todo esto obtenemos finalmente la relación buscada: \[\cos(\beta+\gamma)=\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\gamma).\]
La construcción que hemos presentado supone que los tres ángulos 𝛽, 𝛾 y 𝛼 están entre 0 y  𝜋/2. ¿Qué podemos decir del caso 0 ≦ 𝛽 ≦ 𝜋/2, 0 ≦ 𝛾 ≦ 𝜋 y 𝜋/2 ≦ 𝛼 ≦ 𝜋? En ese caso la construcción geométrica correspondiente es como en la figura siguiente.
 
Al lado de la construcción hemos dibujado el triángulo que se obtiene al intercambiar las posiciones de la recta horizontal y la recta R. Al hacer esto obtenemos un triángulo parecido al de la primera construcción. Ya hemos resuelto este tipo de triángulos y hemos obtenido las relaciones \begin{align*}{\rm sen}(\pi-\gamma)&={\rm sen}(\beta)\,\cos(\pi-\alpha)+\cos(\beta)\,{\rm sen}(\pi-\alpha),\\ \cos(\pi-\gamma)&=\cos(\beta)\,\cos(\pi-\alpha)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\pi-\alpha)\end{align*}
Tomando en cuenta que para un ángulo cualquiera 𝜃 tenemos que \[{\rm sen}(\pi-\theta)={\rm sen}(\theta)\text{ and }\cos(\pi-\theta)=-\cos(\theta),\]las ecuaciones anteriores se transforman en \begin{align*}{\rm sen}(\gamma)&=-{\rm sen}(\beta)\,\cos(\alpha)+\cos(\beta)\,{\rm sen}(\alpha),\\ -\cos(\gamma)&=-\cos(\beta)\,\cos(\alpha)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\alpha).\end{align*} De estas dos ecuaciones debemos despejar sen(𝛼) y cos(𝛼). Si multiplicamos la primera ecuación por sen(𝛽), la segunda por cos(𝛽) y las sumamos, obtenemos \[{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen(\gamma)}-\cos(\beta)\,\cos(\gamma)=-({\rm sen}^2(\beta)+\cos^2(\beta))\cos(\alpha).\] Ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1 y sustituimos sen²(𝛽)+cos²(𝛽)=1. De esta forma obtenemos la relación buscada: \[\cos(\beta+\gamma)=\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\gamma).\] Por otro lado, si a las ecuaciones \begin{align*}{\rm sen}(\gamma)&=-{\rm sen}(\beta)\,\cos(\alpha)+\cos(\beta)\,{\rm sen}(\alpha),\\ -\cos(\gamma)&=-\cos(\beta)\,\cos(\alpha)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\alpha).\end{align*} las multiplicamos la primera por cos(𝛽) y la segunda por sen(𝛾) y restamos la segunda de la primera, entonces obtenemos \[\cos(\beta)\,{\rm sen(\gamma)}+{\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)=({\rm sen}^2(\beta)+\cos^2(\beta))\cos(\alpha).\]  Tomando en cuenta que sustituimos sen²(𝛽)+cos²(𝛽)=1, obtenemos la relación buscada \[ {\rm sen}(\beta+\gamma)={\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)+\cos(\beta)\,{\rm sen(\gamma)}.\] 
El cálculo anterior nos permitió resolver el caso 0 ≦ 𝛽 ≦ 𝜋/2, 0 ≦ 𝛾 ≦ 𝜋 y 𝜋/2 ≦ 𝛼 ≦ 𝜋 a partir del caso de ángulos pequeños que ya habíamos resulto. Podemos hacer reducciones de este tipo para sumas de ángulos cuales quiera 𝛽 y 𝛾, y siempre obtendremos las dos fórmulas \begin{align*}{\rm sen}(\beta+\gamma)&={\rm sen}(\beta)\,\cos(\gamma)+\cos(\beta)\,{\rm sen(\gamma)},\\  \cos(\beta+\gamma)&=\cos(\beta)\,\cos(\gamma)-{\rm sen}(\beta)\,{\rm sen}(\gamma).\end{align*}
 
 

La tabla trigonométrica 

En la anterior entrada del blog pudimos calcular los valores de cos(𝜋/2ⁿ) y sen(𝜋/2ⁿ). Utilizando las fórmulas para en seno y coseno de la suma de ángulos podemos calcular de forma recursiva los valores de cos(k 𝜋/2ⁿ) y sen(k 𝜋/2ⁿ) para enteros k=0,1,2,...,2ⁿ. Con esto obtendremos una tabla de valores de seno y coseno para ángulos entre 0 y 𝜋, con una precisión de 1/2ⁿ. Siendo más específicos, tomemos n=8, de modo que 2ⁿ=256. Vamos a calcular los valores de las funciones trigonométricas para 256 ángulos igualmente espaciados entre 0 y 𝜋. Comenzamos con \begin{align*}\cos(\pi/256)&=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}\approx 0.999924701839145,\\ {\rm sen}(\pi/256)&=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}\approx 0.0122715382857193.\end{align*}
Supongamos que ya hemos calculado cos(k 𝜋/256) y sen(k 𝜋/256) para k=0,1,2,...,m. Podemos calcular cos((m+1) 𝜋/256) y sen((m+1) 𝜋/256) a partir de cos(m 𝜋/256) y sen(m 𝜋/256) usando las fórmulas para las funciones trigonométricas de la suma de ángulos que obtuvimos. Tenemos entonces \begin{align*}\cos((m+1)\pi/256)&=\cos(m\,\pi/256)\,\cos(\pi/256)-{\rm sen}(m\,\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256),\\{\rm sen}((m+1)\pi/256)&={\rm sen}(m\,\pi/256)\,\cos(\pi/256)+\cos(m\,\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256).\end{align*} Podemos utilizar esta recurrencia para ir progresivamente calculando los valores de cos(k 𝜋/256) y sen(k 𝜋/256) para k=0,1,2,...,256. Para ilustrar este procedimiento vamos a calcular los primeros cinco términos, cos(k 𝜋/256) y sen(k 𝜋/256) para k=0,1,2,3 y 4. Para k=0 tenemos cos(0)=1 y sen(0)=0. Para k=1 tenemos  cos(𝜋/256)≈0.99992470183914 y sen(𝜋/256)≈0.0122715382857193. Para k=2 tenemos \begin{align*}\cos(2\pi/256)&=\cos(\pi/256)\,\cos(\pi/256)-{\rm sen}(\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.999698818696204,\\{\rm sen}(2\pi/256)&={\rm sen}(\pi/256)\,\cos(\pi/256)+\cos(\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.0245412285229111.\end{align*}Para k=3 tenemos \begin{align*}\cos(3\pi/256)&=\cos(2\pi/256)\,\cos(\pi/256)-{\rm sen}(2\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.999322384588349,\\{\rm sen}(3\pi/256)&={\rm sen}(2\pi/256)\,\cos(\pi/256)+\cos(2\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.0368072229413570.\end{align*} Finalmente, para k=4 tenemos \begin{align*}\cos(4\pi/256)&=\cos(3\pi/256)\,\cos(\pi/256)-{\rm sen}(3\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.998795456205172,\\{\rm sen}(4\pi/256)&={\rm sen}(3\pi/256)\,\cos(\pi/256)+\cos(3\pi/256)\,{\rm sen}(\pi/256)\approx 0.0490676743274156.\end{align*} Entonces, nuestra tabla de funciones trigonométricas comienza así: \[\begin{array}{|l|c|c|}\hline \theta=k\,\pi/256 & \cos(\theta) & {\rm sen}(\theta)\\ \hline k=0 & 1 & 0\\ \hline k=1& 0.99992470183914 & 0.0122715382857193\\ \hline  k=2 &  0.999698818696204 & 0.0245412285229111\\ \hline k=3 & 0.999322384588349 & 0.0368072229413570\\ \hline k=4 & 0.998795456205172 & 0.0490676743274156\\ \hline \end{array}\]
 
Un buen proyecto de computación es utilizar la recurrencia que hemos deducido para calcular la entradas de una tabla de funciones trigonométricas con una precisión 1/2ⁿ para n cualquiera.

 


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